Aký je obvod pravidelného osemuholníka s polomerom 20?

odpoveď:

Záleží:

Ak je vnútorný polomer #20#, potom je obvod:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~ ~ 132,55 #

Ak je vonkajší polomer #20#, potom je obvod:

# 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~ ~ 122,46 #

vysvetlenie:

Červený kruh obopína vonkajší polomer a zelený kruh vnútorný.

nechať # R # je vonkajší polomer - to je polomer červeného kruhu.

Potom sa vrcholy osemuholníka sústredili na #(0, 0)# sú na adrese:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

Dĺžka jednej strany je vzdialenosť medzi # (r, 0) # a # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((R-R / sqrt (2)) ^ 2 + (R / sqrt (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

Takže celkový obvod je:

#color (červená) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

Takže ak je vonkajší polomer #20#, potom je obvod:

# 8 * 20 sqrt (2-sqrt (2)) = 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~ ~ 122,46 #

#COLOR (biely) () #

Vnútorný polomer bude # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2)) #

tak #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Potom je celkový obvod

# 8r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2)) sqrt (2-sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2)) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) ((2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2-sqrt (2)) / ((2 + sqrt (2)) (2-sqrt (2)) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = Farba (zelená) (16r_1 (sqrt (2) -1)) #

Takže ak je vnútorný polomer #20#, potom je obvod:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~ ~ 132,55 #

#COLOR (biely) () #

Ako dobrá aproximácia # # Pi dáva nám to?

Kým sme tu, akú aproximáciu # # Pi dostaneme spriemerovaním vnútorný a vonkajší polomer?

#pi ~ ~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2)) ~ ~ 3.1876 #

… takže nie je veľký.

Ak chcete získať tak dobré priblíženie ako #355/113 ~~ 3.1415929#čínsky matematik Zu Chongzhi použil a #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) obojstranný polygón a počítacie tyče.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi