Funkčná kontinuálna frakcia (FCF) exponenciálnej triedy je definovaná a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) , a> 0. Po nastavení a = e = 2.718281828 .., ako preukážete, že e_ (cf) (0.1; 1) = 1.880789470, takmer?

odpoveď:

Pozrite si vysvetlenie …

vysvetlenie:

nechať #t = a_ (cf) (x; b) #

potom:

#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b)) = a ^ (x + b / t) #

Inými slovami, # T # je pevný bod mapovania:

#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #

Všimnite si, že # T # je pevným bodom #F (t) # nestačí na to, aby to dokázala #t = a_ (cf) (x; b) #, Môžu existovať nestabilné a stabilné pevné body.

Napríklad, #2016^(1/2016)# je pevný bod #x -> x ^ x #, ale nie je riešením # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Neexistuje žiadne riešenie).

Uvažujme však #a = e #, #x = 0,1 #, #b = 1.0 # a #t = 1.880789470 #

potom:

#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0,1 + 1 / 1,880789470) #

# ~~ e ^ (0,1 + 0,5316916199) #

# = E ^, 6316916199 #

# ~~ 1.880789471 ~ ~ t #

Takže táto hodnota # T # je veľmi blízko k pevnému bodu #F_ (a, b, x) #

Aby sme dokázali, že je stabilný, zvážte deriváciu blízko # T #.

# d / (ds) F_ (e, 1,0,1) (s) = d / (ds) e ^ (0,1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) #

Nájdeme teda:

#F '_ (e, 1,0,1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~ ~ -0,5316916199 #

Pretože je to záporné a absolútne hodnoty menšie ako #1#, pevný bod na # T # je stabilný.

Všimnite si tiež, že pre všetky nenulové skutočné hodnoty # S # máme:

#F '_ (e, 1,0,1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) <0 #

To je #F_ (e, 1,0.1) (y) striktne monotónne klesá.

z toho dôvodu # T # je unikátny stabilný pevný bod.

odpoveď:

Zmluvné správanie.

vysvetlenie:

s #a = e # a #x = x_0 # iterácia nasleduje ako

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # a tiež

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

Skúmajme podmienky pre kontrakciu iteračného operátora.

Oddelenie oboch strán

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

ale v prvej aproximácii

# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #

alebo

# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} približne -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {k-1}) #

Potrebujeme kontrakciu, ktorú potrebujeme

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

To sa dosiahne, ak

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #, dajme tomu #b> 0 # a #k = 1 # máme.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

Tak daná # # X_0 a # B # tento vzťah nám umožňuje nájsť počiatočnú iteráciu pri zmluvnom správaní.