X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 má jeden koreň x = sqrt (2) + sqrt (3). Aké sú ďalšie tri korene a prečo?

odpoveď:

Ďalšie tri korene sú #x = sqrt (2) -sqrt (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # a #x = -sqrt (2) -sqrt (3) #, Čo sa týka toho, prečo vám poviem príbeh …

vysvetlenie:

Pán Rational žije v meste Algebra.

Pozná všetky čísla formulára # M / n # kde # M # a # N # sú celé čísla a #n! = 0 #.

Je celkom rád, že rieši polynómy # 3x + 8 = 0 # a # 6x ^ 2-5x-6 = 0 #, Ale existuje veľa, že ho puzzle.

Dokonca aj zdanlivo jednoduchý polynóm # X ^ 2-2 = 0 # Zdá sa, že t

Jeho bohatý blížny, pán Real, sa nad ním ľutuje. „To, čo potrebujete, je to, čo sa nazýva druhá odmocnina #2#, Tu idete. “Týmito slovami, pán Real podal záhadné lesklé modré číslo # # R_2 pánovi Rationalovi. Všetko, čo sa o tomto čísle hovorí, je to # R_2 ^ 2 = 2 #.

Pán Rational sa vracia k svojmu štúdiu a hrá s týmto tajomstvom # # R_2.

Po chvíli zistí, že môže pridávať, odčítavať, násobiť a deliť čísla formulára # a + b R_2 # kde # A # a # B # sú racionálne a končia číslami rovnakej formy. Tiež si to všimne # X ^ 2-2 = 0 # má iné riešenie, a to # # -R_2.

Teraz je schopný vyriešiť nie len # X ^ 2-2 = 0 #, ale # X ^ 2 + 2-1 = 0 # a veľa ďalších.

Mnohé ďalšie polynómy sa stále vyhýbajú riešeniu. Napríklad, # X ^ 2-3 = 0 #, ale pán Real je šťastný, že mu dal lesklé zelené číslo volal # # R_3 ktorý to vyrieši.

Pán Rational čoskoro zistí, že dokáže vyjadriť všetky čísla, ktoré môže urobiť # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #, kde # A #, # B #, # C # a # D # sú racionálne.

Jedného dňa sa pán Rational vydá na riešenie # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #, To zistí # X = R_2 + R_3 # je riešenie.

Predtým, než hľadá viac riešení, narazí na svojho blížneho, pán Real. Ďakuje pánovi Realovi za dar # # R_2 a # # R_3, ale má o nich dopyt. "Zabudol som sa opýtať:", hovorí, "Sú pozitívne alebo negatívne?". „Nemyslel som si, že by ste sa o to starali,“ povedal pán Real. "Pokiaľ riešite polynómy s racionálnymi koeficientmi, nezáleží na tom. Pravidlá, ktoré ste našli pre pridávanie, odčítanie, násobenie a delenie vašich nových čísel, fungujú rovnako dobre s jedným z nich. Vlastne si myslím, že ste to vy volal # # R_2 je to, čo väčšina ľudí volá # -Sqrt (2) # a ten, ktorý ste volali # # R_3 je to, čo väčšina ľudí volá #sqrt (3) #'.

Takže pre nové čísla formulára pána Rationala # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # nezáleží na tom, či # # R_2 a / alebo # # R_3 sú pozitívne alebo negatívne z hľadiska riešenia polynómov s racionálnymi koeficientmi.