Čo je druhá odmocnina 90?

odpoveď:

#sqrt (90) = 3sqrt (10) ~ ~ 1039681/109592 ~ ~ 9,48683298051 #

vysvetlenie:

#sqrt (90) = sqrt (3 ^ 2 * 10) = 3sqrt (10) # je iracionálne číslo niekde medzi #sqrt (81) = 9 # a #sqrt (100) = 10 #.

V skutočnosti, pretože #90 = 9 * 10# je vo forme # N (n + 1) # má pravidelné pokračujúce rozširovanie formulára # N, bar (2,2n) #:

#sqrt (90) = 9; bar (2,18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18+)…)))))) #

Jeden zábavný spôsob, ako nájsť racionálne aproximácie, je použitie celočíselnej postupnosti definovanej lineárnym opakovaním.

Zvážte kvadratickú rovnicu s nulami # 19 + 2sqrt (90) # a # 19-2sqrt (90) #:

# 0 = (x-19-2sqrt (90)) (x-19 + 2sqrt (90)) #

#color (biela) (0) = (x-19) ^ 2- (2sqrt (90)) ^ 2 #

#color (biela) (0) = x ^ 2-38x + 361-360 #

#color (biela) (0) = x ^ 2-38x + 1 #

takže:

# x ^ 2 = 38x-1 #

Použite na odvodenie postupnosti:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 38a_ (n + 1) -a_n):} #

Prvými niekoľkými výrazmi tejto sekvencie sú:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,…#

Pomer medzi po sebe nasledujúcimi podmienkami bude mať tendenciu # 19 + 2sqrt (90) #

Z toho dôvodu:

#sqrt (90) ~ 1/2 (2080805 / 54796-19) = 1/2 (1039681/54796) = 1039681/109592 ~ ~ 9,48683298051 #