Ako použiť prvý derivačný test na určenie lokálneho extrému y = sin x cos x?

odpoveď:

Extrémne pre # Y = sin (x) cos (x) # sú

# X = pi / 4 + NI / 2 #

s # N # relatívne číslo

vysvetlenie:

byť # F (x) # funkcia predstavujúca zmenu # Y # s opakovaním #X#.

byť # F '(x) # derivát # F (x) #.

# F '(a) # je sklon # F (x) # krivka na # X = a # bod.

Keď je sklon kladný, krivka sa zvyšuje.

Keď je sklon záporný, krivka klesá.

Keď je sklon nulový, krivka zostáva na rovnakej hodnote.

Keď krivka dosiahne extrém, prestane sa zvyšovať / znižovať a začne klesať / zvyšovať. Inými slovami, sklon sa bude pohybovať od kladnej k zápornej -alebo zápornej až po kladnú hodnotu nulovou hodnotou.

Ak teda hľadáte extrémnu funkciu, mali by ste hľadať hodnoty nulovej hodnoty jej derivácie.

N.B. Existuje situácia, keď derivácia je nulová, ale krivka nedosiahne extrém: nazýva sa inflexným bodom. krivka sa na okamih zastaví a klesá a potom pokračuje v raste / klesaní. Mali by ste tiež skontrolovať, či sa znak svahu mení okolo hodnoty null.

Príklad: # F (x) = sin (x) cos (x) = y #

# F '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (dopingových komisárov (x)) / dx #

# = Cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) #

Teraz, keď máme vzorec # F '(x) #, budeme hľadať jeho hodnoty null:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

Riešenia sú # Pi / 4 + NI / 2 # s # N # relatívne číslo.

odpoveď:

Aj keď plánujeme použiť prvý derivátový test, stojí za to pozorovať #y = 1/2 hriechu (2x) #.

vysvetlenie:

Po tomto pozorovaní naozaj nepotrebujeme kalkul nájsť extrém.

Môžeme sa spoľahnúť na naše znalosti trigonometrie a grafy sínusových funkcií

Maximálna hodnota (1/2) nastane, keď # 2x = pi / 2 + 2pik # alebo kedy #x = pi / 4 + pik # pre # K # celé číslo.

Minimum nastáva pri #x = 3pi / 4 + pik # pre # K # celé číslo.

Môžeme použiť derivát, ale naozaj ho nepotrebujeme.

Použitie derivácie

Po prepísaní # Y #, môžeme to rýchlo vidieť #y '= cos (2x) #

Takže kritické čísla pre # Y # sú # 2x = pi / 2 + 2pik # a # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (ak je kosínus #0#) alebo

# x = pi / 4 + pik # a # x = (3pi) / 4 + pik #

Kontrola označenia #y '= cos (2x) #, nájdeme maximálne hodnoty pri prvom súbore kritických čísel a minimálnych hodnotách v druhom.