Ako definujete konvergenciu, ako dokazujete, že sekvencia {5+ (1 / n)} konverguje z n = 1 do nekonečna?
Nech: a_n = 5 + 1 / n potom pre ľubovoľné m, nv NN s n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) ako n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m-1 / n a ako 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Vzhľadom na akékoľvek reálne číslo epsilon> 0 vyberte potom celé číslo N> 1 / epsilon. Pre všetky celé čísla m, n> N máme: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, ktorý dokazuje Cauchyho stav pre konvergenciu sekvencie.
Ako definujete konvergenciu, ako dokazujete, že sekvencia {2 ^ -n} konverguje z n = 1 do nekonečna?
Použite vlastnosti exponenciálnej funkcie na určenie N, ako napríklad | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon pre každé m, n> N Definícia konvergencie uvádza, že {a_n} konverguje ak: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Takže, dané epsilon> 0 sa N> log_2 (1 / epsilon) a m, n> N s m <n Ako m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 tak | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Teraz ako 2 ^ x je vždy kladné, (1- 2 ^ (mn)) <1, takže 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) A ako 2
Ako definujete konvergenciu, ako dokazujete, že sekvencia lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 konverguje?
Vzhľadom na ľubovoľný počet epsilon> 0 vyberte M> 1 / sqrt (6epsilon), s M v NN. Potom pre n> = M máme: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon a tak: n> = M => 1 / (6n ^ 2 + 1) <epsilon, ktorý dokazuje limit.