odpoveď:
# Dy / dx = -20 / 21 #
vysvetlenie:
Budete musieť poznať základy implicitnej diferenciácie pre tento problém.
Vieme, že sklon dotyčnice v bode je derivátom; takže prvým krokom bude prevzatie derivátu. Urobme to kúsok po kúsku, počnúc:
# D / dx (3r ^ 2) #
Toto nie je príliš ťažké; stačí použiť pravidlo reťazca a pravidlo napájania:
# D / dx (3r ^ 2) #
# -> 2 * 3 * y * dy / dx #
# = 6ydy / dx #
Teraz na # # 4xy, Budeme potrebovať pravidlá pre napájanie, reťazec a produkty pre túto možnosť:
# D / dx (4xy) #
# -> 4 d / dx (xy) #
# = 4 ((x) '(y) + (x) (y)') -> # Pravidlo produktu: # D / dx (UV) = u'v + uv '#
# = 4 (y + XDY / dx) #
# = 4y + 4xdy / dx #
Dobre, konečne # X ^ 2y # (viac pravidiel pre produkty, výkon a reťazec):
# D / dx (x ^ 2y) #
# = (X ^ 2) '(y) + (x ^ 2) (y)' #
# = 2.xy + x ^ 2DY / dx #
Teraz, keď sme našli všetky naše deriváty, môžeme problém vyjadriť ako:
# D / dx (3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y) = d / dx (C) #
# -> 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2.xy + x ^ 2DY / dx = 0 #
(Pamätajte, že derivácia konštanty je #0#).
Teraz zbierame termíny # Dy / dx # na jednej strane a presunúť všetko ostatné do druhého:
# 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2.xy + x ^ 2DY / dx = 0 #
# -> 6ydy / dx + 4xdy / dx + x ^ 2DY / dx = - (4y + 2.xy) #
# -> dy / dx (6Y + 4x + x ^ 2) = - (4y + 2.xy) #
# -> dy / dx = - (4y + 2.xy) / (6Y + 4x + x ^ 2) #
Všetko, čo zostáva, je plug in #(2,5)# nájsť našu odpoveď:
# Dy / dx = - (4y + 2.xy) / (6Y + 4x + x ^ 2) #
# Dy / dx = - (4 (5), 2 (2) (5)) / (6 (5), 4 (2) + (2) ^ 2) #
# Dy / dx = - (20 + 20) / (30 + 8 + 4) #
# Dy / dx = - (40) / (42) = - 20/21 #
