Čo sa stane, keď niečo rastie exponenciálne?

Všeobecne: Pre exponenciálnu funkciu, ktorej exponent inklinuje # + - oo # ako # X-> oo #funkcia má tendenciu # # Oo alebo 0 ako # X-> oo #.

Toto platí obdobne pre #X -> - oo # Ďalej, ako sa exponent približuje # + - oo #, minútové zmeny v #X# (typicky) povedie k drastickým zmenám hodnoty funkcie.

Všimnite si, že správanie sa mení pre funkcie, kde základňa exponenciálnej funkcie, tzn # A # v #f (x) = a ^ x #, je to také # -1 <= a <= 1 #.

Tí, ktorých sa to týka # -1 <= a <0 # sa bude správať podivne (ako # F (x) # neberie žiadne reálne hodnoty, okrem toho kde #X# je celé číslo) # 0 ^ x # je vždy 0 a # 1 ^ x # je vždy 1.

Pre tieto hodnoty # # 0oo, #f (x) -> 0 #, a ako #X -> - oo #, #f (x) -> oo #

Predpokladajme, že populácia kolónie baktérií exponenciálne rastie. Ak je populácia na začiatku 300 a o 4 hodiny neskôr je to 1800, ako dlho (od začiatku) to bude trvať pre obyvateľstvo dosiahnuť 3000?

Pozri nižšie. Potrebujeme získať rovnicu tvaru: A (t) = A (0) e ^ (kt) Kde: A (t) je amounf po čase t (hodiny v tomto prípade). A (0) je východisková suma. k je faktor rastu / rozpadu. t je čas. Uvádzame: A (0) = 300 A (4) = 1800, tj po 4 hodinách. Musíme nájsť rastový / rozkladný faktor: 1800 = 300e ^ (4k) Rozdeliť 300: e ^ (4k) = 6 Prirodzený logaritmus oboch strán: 4k = ln (6) (ln (e) = 1 logaritmus základňa je vždy 1) Vydeľte 4: k = ln (6) / 4 Čas pre obyvateľstvo dosiahnuť 3000: 3000 = 300e ^ ((tln (6)) / 4) Vydeľte 300: e ^ ((tln (6 )) / 4) = 10 Logarit

Predpokladajme, že bohatstvo vlastníka podniku exponenciálne rastie. V roku 1993 mal 40 miliónov dolárov. V roku 2001 mal 55 miliónov dolárov. Koľko peňazí bude mať v roku 2010?

78,68 milióna dolárov. Nech bohatstvo w = ab ^ y, jednotka w je 1 milión dolárov a jednotka y je 1 rok. Nech y = 0, na začiatku roku 1993, a bohatstvo w = 40, potom. Pomocou štartovacích podmienok y = 0 a w = 40, a = 40. Použitím zodpovedajúcich hodnôt y = 2001-1993 = 8 a w = 55 potom 55 = 40b ^ 8. Takže b ^ 8 = 11/8 a b = (11/8) ^ (1/8) = 1,0406, takmer. Takže model bohatstva je w = 40 ((11/8) ^ (1/8)) ^ y = 40 (1,0406) ^ y, pre aproximáciu v roku 2010, y = 2010-1993 = 17. w 40 (1,04006) 177 = 78,68. Odpoveď: 78,68 milióna dolárov, takmer. ,

Objem zberateľného dreva v mladom lese rastie exponenciálne s ročnou mierou rastu 3,5%. Aký percentuálny nárast sa očakáva v priebehu 10 rokov?

Očakáva sa, že za 10 rokov sa zvýši objem dreva o 41%. Počiatočný objem dreva musí byť x Rýchlosť rastu za rok je r = 3,5% = 3,5 / 100 = 0,035 Konečná rovnica objemu dreva je y = x (1 + r) ^ t; t je počet rokov. Konečný objem po 10 rokoch je y = x (1 + 0,035) ^ 10 alebo y = x (1,035) ^ 10 ~ ~ 1,4106 * x Percentuálne zvýšenie v 10 rokoch je y% = (1,4106 x-x) / x * 100:. y% = (zrušiť x (1.4106-1)) / zrušiť x * 100 = 41.06% Nárast objemu dreva o 41% sa očakáva v priebehu 10 rokov. [Ans]