Test f pre konkávnosť?

odpoveď:

# F # je konvexný v # RR #

vysvetlenie:

Vyriešil som si to.

# F # je 2 krát diferencovateľný v # RR # tak # F # a # F '# sú kontinuálne v # RR #

Máme # (F '(x)) ^ 3 + 3f' (x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #

Rozlišujeme obidve časti

# 3 * (f '(x)) ^ 2f' '(x) + 3f' '(x) = e ^ x-sinx + 3 ^ 2 + 2 # #<=>#

# 3f '' (x) ((f '(x)) ^ 2 + 1) = e ^ x-sinx + 3 ^ 2 + 2 #

• # F '(x) ^ 2> = 0 # tak # F '(x) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># # F '' (x) = (e ^ x-sinx + 3 ^ 2 + 2) / (3 ((f '(x)) ^ 2 + 1)> 0) #

Potrebujeme znamenie čitateľa, takže uvažujeme o novej funkcii

#G (x) = e ^ x-sinx + 3 ^ 2 + 2 # , #X## V ## RR #

#G '(x) = e ^ x-cosx + 6x #

Všimli sme si to #G '(0) = e ^ 0-cos0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0 #

pre # X = n # #=># #G "(π) = e ^ π-cosπ + 6π = e ^ π + 1 + 6π> 0 #

pre # X = -π # #G '(- π) = e ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / e ^ π + cosπ-6π = 1 / e ^ π-1-6π <0 #

Konečne dostaneme túto tabuľku, ktorá ukazuje monotónnosť # G #

Predpokladaný # I_1 = (- oo, 0 # a # I_2 = 0, + oo) #

#G (I_1) = g ((- oo, 0) = g (0), lim_ (xrarr-oo) g (x)) = 3, + oo) #

#G (I_2) = g (0, + oo)) = g (0), lim_ (xrarr + oo) g (x)) = 3, + oo) #

pretože

• #lim_ (xrarr-oo) g (x) = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x-sinx + 3 ^ 2 + 2) #

# | Sinx | <= 1 # #<=># # -1 <= - sinx <= 1 # #<=>#

# E ^ x + 3 ^ 2 + 2-1 <= e ^ x + 3 ^ 2 + 2-sinx <= e ^ x + 3 ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=> #

# E ^ x + 3 ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3 ^ 2 + 3 #

• Pomocou squeeze / sandwich teorém máme

#lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3 ^ 2 + 1) = + oo = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3 ^ 2 + 3) #

Z tohto dôvodu #lim_ (xrarr-oo) g (x) = + oo #

• #lim_ (xrarr + oo) g (x) = lim_ (xrarr + oo) (e ^ x-sinx + 3 ^ 2 + 2) #

Rovnakým procesom skončíme

# E ^ x + 3 ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3 ^ 2 + 3 #

Avšak, #lim_ (xrarr + oo) (e ^ x + 3 ^ 2 + 1) = + oo = e ^ x + 3 ^ 2 + 3 #

Z tohto dôvodu #lim_ (xrarr + oo) g (x) = + oo #

Rozsah # G # bude:

# R_g = g (D_g) = g (I_1) uug (I_2) = 3, + oo) #

• # 0! InR_g = 3, + oo) # tak # G # nemá žiadne korene # RR #

  # G # je kontinuálna v # RR # a nemá žiadne riešenia. Z tohto dôvodu # G # zachováva prihlásenie # RR #

To znamená

# {(g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR):} #

To znamená, #G (π) = e ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = e ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

Ako výsledok #G (x)> 0 #, #X## V ## RR #

a # F '' (x)> 0 #, #X## V ## RR #

#-># # F # je konvexný v # RR #

odpoveď:

Pozri nižšie.

vysvetlenie:

daný #y = f (x) # polomer zakrivenia krivky je daný hodnotou

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # takto

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # máme

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # alebo

#f '' (1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # alebo

# 1 / (f '' (1+ (f ') ^ 2)) = 3 / (e ^ x + 3 ^ 3-sinx + 2) # alebo

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 (1+ (f') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3 ^ 3-sinx + 2) #

teraz analyzuje #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # máme

#min g (x) = 0 # pre #x v RR # tak #g (x) ge 0 # a potom zakrivenie v

#rho = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # nezmení znamienko, takže to konštatujeme # F (x) # epigraf je konvexný # RR #