Ak má 3x ^ 2-4x + 1 nuly alfa a beta, potom aký kvadratický má nuly alfa ^ 2 / beta a beta ^ 2 / alfa?

odpoveď:

Nájsť # Alfa # a # Beta # najprv.

vysvetlenie:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

Faktory na ľavej strane, takže máme

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

Bez straty všeobecnosti sú korene #alpha = 1 # a #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # a #(1/3)^2/1= 1/9#.

Polynom s racionálnymi koeficientmi, ktoré majú tieto korene

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Ak si želáme celočíselné koeficienty, vynásobte číslom 9, aby sme získali:

#g (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

Ak si želáme, môžeme to vynásobiť

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

POZNÁMKAVo všeobecnosti by sme mohli písať

#f (x) = (x - alfa ^ 2 / beta) (x - beta ^ 2 / alfa) #

# = x ^ 2 - ((alfa ^ 3 + beta ^ 3) / (alfabeta)) x + alfabeta #

odpoveď:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

vysvetlenie:

Poznač si to:

# (x-alfa) (x-beta) = x ^ 2- (alfa + beta) x + alfa beta #

# (x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa) = x ^ 2- (alfa ^ 2 / beta + beta ^ 2 / alfa) x + (alfa ^ 2 / beta) (beta ^ 2 / beta) alfa) #

#color (biela) ((x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa)) = x ^ 2- (alfa ^ 3 + beta ^ 3) / (alfa beta) x + alfa beta #

#color (biela) ((x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa)) = x ^ 2 - ((alfa + beta) ^ 3-3alfa beta (alfa + beta)) (alfa beta) x + alfa beta #

V našom príklade sa delíme # 3x ^ 2-4x + 1 # podľa #3# máme:

# {(alfa + beta = 4/3), (alfa beta = 1/3):} #

takže:

# ((alfa + beta) ^ 3-3alfa beta (alfa + beta) / (alfa beta) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) / (1/3)) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

Požadovaný polynóm môže byť napísaný:

# X ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

Vynásobte pomocou #9# získať celočíselné koeficienty:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

odpoveď:

Navrhované riešenie nižšie;

vysvetlenie:

# 3x²-4x + 1 #

Poznámka: # A # je alfa, # B # je beta

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

Na vytvorenie rovnice nájdeme súčet a produkty koreňov.

Pre súčet

# (a²) / b + (b²) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

Ale; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ³-3ab (a + b) #

Z tohto dôvodu;

# ((A + b) ³-3ab (A + B)) / (ab) #

Preto nahrádzame hodnoty.

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancel3 (1 / cancel3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / cancel27_9) xx (cancel3 / 1) #

#28/9#

Preto suma je #28/9#

Pre produkty

# ((A?) / B) ((b?) / A) #

# ((Ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 xx 3/1 #

# 1 / cancel9_3 xx cancel3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Preto výrobok je #1/3#

# X²- (a + b) x + ab #

# X²- (28/9) x + 1/3 #

# 9x²-28x + 3 #

Násobenie prostredníctvom #9#

Dúfam, že to pomôže!