Aká je projekcia (3i + 2j - 6k) na (3i - 4j + 4k)?

odpoveď:

Vektorová projekcia je #< -69/41,92/41,-92/41 >#, skalárna projekcia je # (- 23sqrt (41)) / # 41.

vysvetlenie:

daný # Veca = (3i + 2j-6K) # a # vecb = (3i-4j + 4k) #, môžeme nájsť #proj_ (vecb) Veca #, vektor projekcia # # Veca na # # Vecb pomocou nasledujúceho vzorca:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

To znamená, že bodový produkt dvoch vektorov vydelený veľkosťou # # Vecb, vynásobeny # # Vecb jeho veľkosť. Druhou veličinou je vektorová veličina, pretože vektor delíme skalárnym. Všimnite si, že sa delíme # # Vecb s cieľom získať a jednotkový vektor (vektor s veľkosťou. t #1#). Môžete si všimnúť, že prvá veličina je skalárna, pretože vieme, že keď vezmeme bodový produkt dvoch vektorov, výsledkom je skalár.

Preto skalárne projekcia # A # na # B # je #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, tiež napísané # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Môžeme začať tým, že vezmeme bodový produkt dvoch vektorov, ktorý môže byť zapísaný ako # veca = <3,2, -6> # a # vecb = <3, -4,4> #.

# veca * vecb = <3,2, -6> * <3, -4,4> #

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

Potom môžeme nájsť veľkosť # # Vecb tým, že vezmeme odmocninu súčtu štvorcov každej zo zložiek.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => Sqrt (9 + 16 + 16) = sqrt (41) #

A teraz máme všetko, čo potrebujeme, aby sme našli vektorovú projekciu # # Veca na # # Vecb.

#proj_ (vecb) veca = (- 23) / sqrt (41) * (<3, -4,4>) / sqrt (41) #

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

Koeficient môžete rozdeliť na každú zložku vektora a zapísať ako:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

Skalárna projekcia # # Veca na # # Vecb je len prvá polovica vzorca, kde #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, Preto je skalárna projekcia # -23 / sqrt (41) #, čo okrem toho nezjednodušuje, okrem racionalizácie menovateľa, ak je to žiaduce, poskytovaním # (- 23sqrt (41)) / # 41.

Dúfam, že to pomôže!