Úplné zjednodušenie S_ (k + 1). Vďaka?!!

odpoveď:

# S_k = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

#S_ (k + 1) = (k + 1) (k + 2), (k + 3) / 3 #

vysvetlenie:

Nemôžeme len nahradiť # X = k + 1 # do vzorca, alebo mi niečo chýba?

Poradie je:

# S_n = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + n (n + 1) = n (n + 1) (n + 2) / 3 #

Takže, ak chceme vypočítať # # S_k, práve sme dali # N = k #a dostať

# S_k = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + k (k + 1) = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

V prípade #S_ (k + 1) #Myslím, že môžeme len nahradiť # N = k + 1 #a budeme mať

#S_ (k + 1) = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + (k + 1) (k + 2) = (k + 1) (k + 2), (k + 3) / 3 #

Ak to chceme rozšíriť, stáva sa

# (K + 1) (k + 2), (k + 3) / 3 #

# = (K ^ 2 + 3k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (K ^ 3 + 3k ^ 2 + 3k ^ 2 + 9k + 2k + 6) / 3 #

# = (K ^ 3 + 6k ^ 2 + 11k + 6) / 3 #

# = K ^ 3/3 + (6k ^ 2) / 3 + (11k) / 3 + 6/3 #

# = K ^ 3/3 + 2k ^ 2 + (11k) / 3 + 2 #

odpoveď:

#S_ (k + 1) = ((k + 1) (k + 2), (k + 3)) / 3 #

vysvetlenie:

#S_n: 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + n (n + 1) = (n (n + 1) (n + 2)) / 3 #

Nech je vyhlásenie pravdivé pre n = k, #S_k: 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + k (k + 1) = (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

Overme si to

n = k + 1, potom

# S_n = S_ (k + 1) #

# N + 1 = k + 2 #

# N + 2 = k + 3 #

# "s okamžitým výrazom" (k + 1) (k + 2) #

# (N (n + 1) (n + 2)) / 3 = ((k + 1) (k + 2), (k + 3)) / 3 #

To znamená, #S_ (k + 1): 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + k (k + 1) + (k + 1) (k + 2) #

#S_ (k + 1): S_k + (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

# = (K (k + 1) (k + 2)) / 3 + (k + 1) (k + 2) #

# = 1/3 (k (k + 1) (k + 2) 3 (k + 1) (k + 2)) #

# = 1/3 ((k + 1) (k + 2), (k + 3)) = ((k + 1) (k + 2), (k + 3)) / 3 #

Overená.

teda

#S_ (k + 1) = ((k + 1) (k + 2), (k + 3)) / 3 #