Ak hodíte jednu maticu, aký je očakávaný počet rolí potrebných na to, aby ste raz hodili každé číslo?

odpoveď:

# 14.7 "rolí" #

vysvetlenie:

#P "všetky čísla sú hádzané" = 1 - P "1,2,3,4,5 alebo 6 nie je hozený" #

#P "A alebo B alebo C alebo D alebo E alebo F" = P A + P B + … + P F - #

#P A a B - P A a C …. + P A a B a C + … #

# "Tu je" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "Negatívom je naša pravdepodobnosť."

#sum n * a ^ (n-1) = súčet (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) suma a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = súčet n * P "všetky čísla hádzané po n hodí" #

# = súčet n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Musíme odčítať jeden, pretože podmienka začiatku je P_1 (0)" #

# "udáva chybnú hodnotu P = 1 pre n = 1." #

# => P = 15,7 - 1 = 14,7 #

odpoveď:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

vysvetlenie:

Myslite na to ako šesť minihier. Pre každú hru hodíme dielo, až kým neuvolníme číslo, ktoré ešte nebolo zvinuté - čo nazývame "výhra". Potom začneme ďalšiu hru.

nechať #X# je počet rolí potrebných na razenie aspoň jedného čísla (t. j. vyhrajte všetkých 6 minihier) a nechajte # # X_i je počet rolí potrebných na „vyhratie“ čísla minihry # Aj # (pre # Aj # od 1 do 6). Potom každý # # X_i je geometrická náhodná premenná s distribúciou # "Geo" (Ak chcete nájst) #.

Očakávaná hodnota každej geometrickej náhodnej veličiny je # 1 / Ak chcete nájst #.

Pre prvú hru, # p_1 = 6/6 # keďže všetkých 6 výsledkov je „nových“. To znamená, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

Pre druhú hru je 5 zo 6 výsledkov nových, takže # P_2 = 5/6 #, To znamená, # "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

Pre tretiu hru sú 4 zo 6 možných rolí nové # P_3 = 4/6 #, čo znamená # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

V tomto bode môžeme vidieť vzor. Keďže počet "víťazných" rolí klesá o 1 pre každú novú hru, pravdepodobnosť "víťaznej" hry klesá z #6/6# na #5/6#, potom #4/6#, atď., čo znamená, že očakávaný počet rolí na zápas je od #6/6# na #6/5#, do #6/4#, a tak ďalej, až do poslednej hry, kde očakávame, že si vezme 6 rolí na získanie posledného čísla.

teda:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#color (biela) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

#color (biela) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#color (biela) ("E" (X)) = 1 + 1,2 + 1,5 + 2 + 3 + 6 #

#color (biela) ("E" (X)) = 14,7 #