Aká je projekcia (4 i + 4 j + 2 k) na (i + j -7k)?

odpoveď:

Vektorová projekcia je #< -2/17,-2/17,14/17 >#, skalárna projekcia je # (- 2sqrt (51)) / 17 #, Pozri nižšie.

vysvetlenie:

daný # Veca = (4i + 4j + 2k) # a # vecb = (i + j-7k) #, môžeme nájsť #proj_ (vecb) Veca #, vektor projekcia # # Veca na # # Vecb pomocou nasledujúceho vzorca:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

To znamená, že bodový produkt dvoch vektorov vydelený veľkosťou # # Vecb, vynásobeny # # Vecb jeho veľkosť. Druhou veličinou je vektorová veličina, pretože vektor delíme skalárnym. Všimnite si, že sa delíme # # Vecb s cieľom získať a jednotkový vektor (vektor s veľkosťou. t #1#).Môžete si všimnúť, že prvá veličina je skalárna, pretože vieme, že keď vezmeme bodový produkt dvoch vektorov, výsledkom je skalár.

Preto skalárne projekcia # A # na # B # je #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, tiež napísané # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Môžeme začať tým, že vezmeme bodový produkt dvoch vektorov, ktorý môže byť zapísaný ako # veca = <4,4,2> # a # vecb = <1,1, -7> #.

# veca * vecb = <4,4,2> * <1,1, -7> #

#=> (4*1)+(4*1)+(2*-7)#

#=>4+4-14=-6#

Potom môžeme nájsť veľkosť # # Vecb tým, že vezmeme odmocninu súčtu štvorcov každej zo zložiek.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((1) ^ 2 + (1) ^ 2 + (- 7) ^ 2) #

# => Sqrt (1 + 1 + 49) = sqrt (51) #

A teraz máme všetko, čo potrebujeme, aby sme našli vektorovú projekciu # # Veca na # # Vecb.

#proj_ (vecb) veca = (- 6) / sqrt (51) * (<1,1, -7>) / sqrt (51) #

#=>(-6 < 1,1,-7 >)/51#

#=>-2/17< 1,1,-7 >#

Koeficient môžete rozdeliť na každú zložku vektora a zapísať ako:

#=>< -2/17,-2/17,+14/17 >#

Skalárna projekcia # # Veca na # # Vecb je len prvá polovica vzorca, kde #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, Preto je skalárna projekcia # -6 / sqrt (51) #, čo okrem toho nezjednodušuje, okrem racionalizácie menovateľa, ak je to žiaduce, poskytovaním # (- 6sqrt (51)) / 51 => (-2sqrt (51)) / 17 #

Dúfam, že to pomôže!