Aké sú asymptoty a odstrániteľné diskontinuity f (x) = (x ^ 3-x + 2) / ((x-x ^ 2) (1-x ^ 2))?

odpoveď:

Nie sú žiadne.

vysvetlenie:

Odnímateľné prerušenia existujú vtedy, keď sa funkcia nedá vyhodnotiť v určitom bode, ale ľavá a pravá hranica sa v tomto bode navzájom rovnajú. Jedným takýmto príkladom je funkcia x / x. Táto funkcia je jasne 1 (takmer) všade, ale nemôžeme ju vyhodnotiť na 0, pretože 0/0 je nedefinované. Avšak ľavá a pravá hranica na 0 sú obidva 1, takže môžeme "odstrániť" diskontinuitu a dať funkcii hodnotu 1 pri x = 0.

Ak je vaša funkcia definovaná zlomkom polynómu, odstránenie diskontinuít je synonymom faktorov zrušenia. Ak máte čas a viete, ako rozlišovať polynómy, odporúčam vám, aby ste to dokázali sami.

Faktorovanie vášho polynómu je zložité. Existuje však jednoduchý spôsob, ako skontrolovať, kde sú prerušenia. Najprv nájdite všetky x tak, že menovateľ je 0. Na tento účel môžete menovať menovateľa takto:

# (x-x ^ 2) (1-x ^ 2) = x (1-x) (1-x) (1 + x) #

Prvý termín som fakticky vyťahoval zo spoločného faktora x. Druhým termínom je rozdiel štvorcov, # a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #.

Tu môžeme vidieť nuly v menovateli x = 0, x = 1 a x = -1.

Bez faktoringu čitateľa môžeme skontrolovať, či nuly existujú v polynóme čitateľa. Ak áno, budeme musieť urobiť nejaké faktoring. Ak tomu tak nie je, potom si môžeme byť istí, že neexistujú žiadne faktory, ktoré by rovnako zrušili.

#(0)^3-(0)+2 = 2#

#(1)^3-(1)+2 = 2#

#(-1)^3-(-1)+2 = 2#

Vo všetkých troch prípadoch sme dostali 2, čo nie je 0. Tak môžeme konštatovať, že žiadna z núl v menovateli sa v čitateli nezhoduje s 0, takže žiadna z diskontinuít nemôže byť odstránená.

Môžete si to overiť aj vo svojom grafickom softvéri. Zistíte, že táto funkcia sa líši pri x = -1, 0 a 1. Ak boli diskontinuity odstrániteľné, mali by byť v oblasti okolo diskontinuity relatívne ploché, namiesto toho, aby sa odlišovali.