Je sqrt21 reálne číslo, racionálne číslo, celé číslo, Integer, Irrational number?

odpoveď:

Je to iracionálne číslo, a teda skutočné.

vysvetlenie:

Najprv to dokážeme #sqrt (21) # je skutočné číslo, v skutočnosti je druhá odmocnina všetkých pozitívnych reálnych čísel reálna. ak #X# je reálne číslo, potom definujeme pre kladné čísla #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #, To znamená, že sa pozrieme na všetky reálne čísla # Y # takýmto spôsobom # Y ^ 2 <= x # a vezmite najmenšie skutočné číslo, ktoré je väčšie ako všetky tieto # Y #je to tzv. supremum. Pre záporné čísla, tieto # Y #neexistujú, pretože pre všetky reálne čísla má štvorček tohto čísla za následok kladné číslo a všetky kladné čísla sú väčšie ako záporné čísla.

Pre všetky kladné čísla je vždy niekoľko # Y # ktorý vyhovuje podmienke # Y ^ 2 <= x #, menovite #0#, Okrem toho je na tieto čísla naviazaná horná hranica, t # X + 1 #, pretože ak # 0 <= y <1 #, potom # X + 1> y #, ak #Y> = 1 #, potom #y <= y ^ 2 <= x #, takže # X + 1> y #, Môžeme ukázať, že pre každú ohraničenú neprázdnu množinu reálnych čísel existuje vždy jedinečné reálne číslo, ktoré pôsobí ako supremum, kvôli tzv. Úplnosti # RR #, Takže pre všetky pozitívne reálne čísla #X# existuje reálne #sqrt (x) #, Môžeme tiež ukázať, že v tomto prípade #sqrt (x) ^ 2 = x #, ale ak ma nechcete, nebudem to tu dokazovať. Nakoniec si to všimneme #sqrt (x)> = 0 #, pretože #0# je číslo, ktoré vyhovuje podmienke, ako bolo uvedené vyššie.

Teraz pre iracionalitu #sqrt (21) #, Ak by to nebolo iracionálne (tak racionálne), mohli by sme to napísať ako #sqrt (21) = a / b # s # A # a # B # celé čísla a # / B # zjednodušiť čo najviac, čo znamená, že # A # a # B # nemajú spoločný deliteľ, okrem #1#, Teraz to znamená, že # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Teraz používame niečo, čo sa nazýva hlavnou faktorizáciou prirodzených čísel. To znamená, že každé kladné celé číslo môžeme zapísať ako jedinečný produkt prvočísel. pre #21# toto je #3*7# a pre # A # a # B # toto je nejaký svojvoľný produkt prvočísel # A = a_1 * … * a_n # a # B = b_1 * … * b_m #, Skutočnosť, že jediný spoločný deliteľ # A # a # B # je #1# zodpovedá skutočnosti, že. t # A # a # B # zdieľať žiadne prvočísel v ich faktorizácii, takže sú # # A_i a # # B_j takýmto spôsobom # A_i = b_j #, To znamená, že # A ^ 2 # a # B ^ 2 # tiež nezdieľajte žiadne prvočísel, pretože # A ^ 2 = a_1 * a_1 * … * * a_n a_n # a # B ^ 2 = * b_1 b_1 * … * b_m b_m #, preto jediný spoločný deliteľ # A ^ 2 # a # B ^ 2 # je #1#, od tej doby # A ^ 2 = 21 b ^ 2 #, to znamená # B ^ 2 = 1 #, takže # B = 1 #, teda #sqrt (21) = a #, Všimnite si, že to platí len za predpokladu, že #sqrt (21) # je racionálne.

Teraz by sme samozrejme mohli prebehnúť všetky pozitívne čísla menšie ako #21# a skontrolujte, či ich dávať #21#, ale toto je nudná metóda. Aby sme to urobili zaujímavejším spôsobom, obrátime sa opäť na našich prvočísel. My to vieme # A ^ 2 = a_1 * a_1 * … * * a_n a_n # a #21=3*7#, takže # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * * a_n a_n #, Na ľavej strane sa každý prime vyskytuje len raz, na pravej strane, každý prime nastane aspoň dvakrát, a vždy na párkrát (ak # A_1 = a_n # pre instace by sa vyskytli aspoň štyrikrát). Ale ako sme už uviedli, tieto hlavné faktory sú jedinečné, takže to nemôže byť správne. teda # 21nea ^ 2 #, takže #anesqrt (21) #, čo znamená, že náš skorší predpoklad #sqrt (21) # Ukázalo sa, že je to racionálne #sqrt (21) # je iracionálne.

Všimnite si, že rovnaký argument platí pre akékoľvek kladné celé číslo #X# s prvou faktorizáciou, kde jeden z prvočísel sa javí ako nerovnomerný počet, pretože štvorec celého čísla má vždy všetky svoje prvotné faktory, ktoré majú rovnaký čas. Z toho usudzujeme, že ak #X# je kladné celé číslo (#x inNN #) má prvoradý faktor, ktorý sa vyskytuje len nerovnomerne krát, #sqrt (x) # bude iracionálne.

Uvedomujem si, že tento dôkaz sa môže zdať trochu dlhý, ale používa dôležité pojmy z matematiky. Pravdepodobne v žiadnom stredoškolskom kurikule tieto úvahy nie sú zahrnuté (nie som si 100% istý, nepoznám učebné osnovy každej strednej školy na svete), ale pre skutočných matematikov je dôkaz toho, že je to jedna z najdôležitejšie činnosti, ktoré vykonávajú. Preto som vám chcel ukázať, aký druh matematiky je za druhou odmocninou vecí. To, čo z toho musíte vziať, je to naozaj #sqrt (21) # je iracionálne číslo.