Aký je limit ako t sa blíži 0 (tan6t) / (sin2t)?

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = 3 #. Určujeme to pomocou pravidla L'hospital.

Na parafrázovanie pravidlo L'Hospital uvádza, že keď je uvedený limit formulára #lim_ (t a) f (t) / g (t) #, kde # F (a) # a #G (a) # sú hodnoty, ktoré spôsobujú, že limit je neurčitý (najčastejšie, ak sú obe hodnoty 0, alebo nejaká forma), potom pokiaľ sú obe funkcie kontinuálne a diferencovateľné na mieste av jeho blízkosti # A # možno to povedať

#lim_ (t a) f (t) / g (t) = lim_ (t a) (f '(t)) / (g' (t)) #

Alebo slovami, limit kvocientu dvoch funkcií sa rovná limitu kvocientu ich derivátov.

V uvedenom príklade máme #f (t) = tan (6t) # a #G (t) = sin (2t) #, Tieto funkcie sú kontinuálne a diferencovateľné v blízkosti # t = 0, tan (0) = 0 a sin (0) = 0 #, Tak, naše počiatočné # F (a) / g (A) = 0/0 = ?. #

Preto by sme mali využiť pravidlo L'Hospital. # d / dt tan (6t) = 6 sec ^ 2 (6t), d / dt sin (2t) = 2 cos (2t) #, Tak …

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = lim_ (t-> 0) (6 sek ^ 2 (6t)) / (2 cos (2t)) = (6 sek ^ 2 (0)) / (2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 / (2 * 1 * 1) = 6/2 = 3 #

odpoveď:

Reqd. Lim.#=3#.

vysvetlenie:

Nájdeme to limit pomocou nasledujúceho postupu Štandardné výsledky:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1, lim (thetararr0) tanteta / theta = 1 #

Všimnite si, že #tan (6t) / sin (2T) = frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2 t) / (2 t)) ##frac (6t) (2t) = 3frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2 t) / (2 t)) #

Tu, # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) tan (6t) / (6t) = 1 #

podobne #lim_ (trarr0) sin (2t) / (2 t) = 1 #

Preto Reqd. Lim.#=3{1/1}=3#.