odpoveď:
Urobte veľa algebry po použití definície limitu nájsť, že svah na # X = 3 # je #13#.
vysvetlenie:
Definícia limitu derivátu je:
# F '(x) = lim_ (H> 0) (f (x + H) f (x)) / h #
Ak tento limit vyhodnotíme pre # 3x ^ 2-5x + 2 #, dostaneme výraz pre derivát tejto funkcie. Derivácia je jednoducho sklon dotyčnice v bode; takže hodnotenie derivátu na # X = 3 # nám poskytne sklon tangenty na # X = 3 #.
S tým sme začali:
# F '(x) = lim_ (H> 0) (3 (x + h) ^ 2-5 (x + H) + 2- (3 x ^ 2-5x + 2)) / h #
# F '(x) = lim_ (H> 0) (3 (x ^ 2 + 2HX + h ^ 2) -5x blikne-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / h #
# F '(x) = lim_ (H> 0) (zrušiť (3x ^ 2) + 6hx + 3h ^ 2-zrušiť (5x) -5H + zrušenie (2) -cancel (3x ^ 2) + zrušiť (5x) -cancel (2)) / h #
# F '(x) = lim_ (H> 0) (6hx + 3h ^ 2-5h) / h #
# F '(x) = lim_ (H> 0) (zrušiť (h) (6x + 3h-5)) / zrušenie (h) #
# F '(x) = lim_ (H> 0) 6x + 3h-5 #
Vyhodnotenie tohto limitu na # H = 0 #, # F '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #
Teraz, keď máme deriváciu, musíme len pripojiť # X = 3 # nájsť sklon priamky dotyčnice:
# F '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
odpoveď:
Ak váš učiteľ / učebnica používa vysvetlivky nižšie, pozrite si vysvetlenie nižšie #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) #
vysvetlenie:
Niektoré prezentácie počtu sa používajú na definovanie sklonu čiary dotýkajúcej sa grafu # F (x) # v mieste, kde # X = a # je #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) # za predpokladu, že tento limit existuje.
(Napríklad 8. vydanie Jamesa Stewarta počet str. 106. Na strane 107 uvádza ekvivalent #lim_ (hrarr0) (f (a + H) f (a)) / h #.)
S touto definíciou, sklon dotyčnice k grafu #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # v mieste, kde # X = 3 # je
#lim_ (xrarr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) 2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Všimnite si, že tento limit má neurčitú formu #0/0# pretože #3# je nula polynómu v čitateli.
od tej doby #3# je nula, to vieme # X-3 # je faktor. Takže môžeme faktor, znížiť a pokúsiť sa znovu vyhodnotiť.
# = lim_ (xrarr3) (zrušiť ((x-3)) (3x + 4) / zrušiť ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
Limit je #13#, takže sklon priamky dotyčnice na # X = 3 # je #13#.
