Aký je vzorec na nájdenie oblasti pravidelného dodekagónu?

odpoveď:

#S_ ("pravidelný dodekagon") = (3 / (tan 15 ^ @)) "strana" ^ 2 ~ = 11.196152 * "strana" ^ 2 #

vysvetlenie:

Pri pomyslení na pravidelný dodekón vpísaný do kruhu môžeme vidieť, že je tvorený 12 rovnoramennými trojuholníkmi, ktorých strany sú polomer kruhu, polomer kruhu a strana dodekagonu; v každom z týchto trojuholníkov je uhol protiľahlý k strane dodekagon #360^@/12=30^@#; oblasť každého z týchto trojuholníkov je # ("Bočné" * "výška) / 2 #, na vyriešenie problému potrebujeme len určiť výšku kolmo na stranu dodekagónu.

V spomínanom rovnoramennom trojuholníku, ktorého základňou je strana dodecagon a ktorej rovnaké strany sú polomery kruhu, ktorých uhol je oproti základni (# Alfa #) rovná sa #30^@#, existuje len čiara nakreslená z vrcholu, v ktorom sa stretávajú polomery kruhu (bod C), ktorý zachytáva kolmo na stranu dodekagon: táto čiara rozdeľuje uhol # Alfa # rovnako ako výška trojuholníka medzi bodom C a bodom, v ktorom je základňa zachytená (bod M), ako aj rozdeľuje základňu na dve rovnaké časti (všetko preto, lebo dva menšie trojuholníky takto vytvorené sú zhodné).

Keďže dva menšie trojuholníky sú tie pravé, môžeme takto určiť výšku rovnoramenného trojuholníka takto:

#tan (alpha / 2) = "opačný katetus" / "priľahlý katetus" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("strana" / 2) / "výška" # => #height = "side" / (2 * tan 15 ^ @) #

Potom máme

#S_ (dodecagon) = 12 * S (trojuholník) = 12 * (("strana") ("výška")) / 2 = 6 * ("strana") ("strana") / (2 * tan 15 ^ @) # => #S_ (dodecagon) = 3 * ("strana") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #