Prečo neexistujú faktoriály pre záporné čísla?

odpoveď:

Ak by existovala, došlo by k rozporu s jeho funkciou.

vysvetlenie:

Jedným z hlavných praktických použití faktoriálu je poskytnúť vám množstvo spôsobov, ako permutovať objekty. Nemôžete permute #-2# objekty, pretože nemôžete mať menej ako #0# objektov!

odpoveď:

Záleží na tom, čo myslíte …

vysvetlenie:

Faktoriály sú definované pre celé čísla nasledovne:

#0! = 1#

# (N + 1)! = (n + 1) n! #

To nám umožňuje definovať, čo znamená "faktoriál" pre akékoľvek nezáporné celé číslo.

Ako možno túto definíciu rozšíriť na ďalšie čísla?

Funkcia gama

Existuje kontinuálna funkcia, ktorá nám umožňuje "spojiť sa s bodkami" a definovať "faktoriálny" pre akékoľvek nezáporné skutočné číslo?

Áno.

#Gamma (t) = int_0 ^ oo x ^ (t-1) e ^ (- x) dx #

Z toho vyplýva, že integrácia podľa častí #Gamma (t + 1) = t Gamma (t) #

Pre kladné celé čísla # N # nájdeme #Gamma (n) = (n-1) #

Môžeme rozšíriť definíciu #Gamma (t) # pomocou záporných čísel #Gamma (t) = (Gamma (t + 1)) / t #, okrem prípadu #t = 0 #.

Bohužiaľ to znamená, že #Gamma (t) # nie je definované, keď # T # je nula alebo záporné celé číslo. # # Gamma funkcia má jednoduchý pól na #0# a záporné celé čísla.

Ďalšie možnosti

Existujú nejaké ďalšie rozšírenia "faktoriálu", ktoré majú hodnoty pre záporné celé čísla?

Áno.

Rímsky faktoriál je definovaný nasledovne:

#stackrel () (| __n ~ |!) = {(n !, ak n> = 0), ((-1) ^ (- n-1) / ((- n-1)!), ak n < 0):} #

Toto je pomenované po matematikovi S. Romanovi, nie Rimanom a používa sa na poskytnutie vhodnej notácie pre koeficienty harmonického logaritmu.