Ako vyriešiť 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

odpoveď:

Túto otázku môžeme vyriešiť graficky.

vysvetlenie:

Daná rovnica # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # môže byť prepísaný ako

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Teraz si tieto dva ako samostatné funkcie

# F (x) = 2e ^ (x) # a #g (x) = 7-2x # a vykresliť ich graf; ich priesečník bude Riešenie k danej rovnici # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Toto je zobrazené nižšie: -

odpoveď:

To je mimo strednej školy algebry, a najlepší spôsob, ako to vyriešiť, je požiadať Wolfram Alpha, ktorý odpovedá #x cca.94 #.

vysvetlenie:

vyriešiť

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Otázky, ako je tento, sú vo všeobecnosti ťažké a odpoveď závisí od toho, či ste v algebre na strednej škole alebo hlbšie do matematiky.

Pre stredné školy je najlepším prístupom len vyskúšať niektoré malé čísla a zistiť, či fungujú. (Toto funguje pre mnoho, mnoho stredoškolských matematických problémov, fyi.) Existuje naozaj len jedna racionálna #X# ktorá robí # E ^ x # racionálne, # X = 0 #, čo nie je riešenie. Takže hádanie tu nebude fungovať.

Ak je aproximácia dosť dobrá, môžeme ju graficky znázorniť alebo graf # 2e ^ x # a # # 7-2x a vidieť, kde sa stretávajú.

Bez ohľadu na to, aká je vaša úroveň, keď sa stretnete s tvrdou, ako je táto, je to zvyčajne dobrý krok opýtať sa dostupného experta, ktorým je Wolfram Alpha.

Vidíme, že Alpha nám dal približnú odpoveď, takmer blízko 1, a dokonca vzorec pomocou W (x), ktorý Lambert Product Log, ktorý zvyčajne nie je súčasťou strednej školy.

Neexistuje žiadna odpoveď pomocou bežných funkcií a operácií, o ktorých vieme na strednej škole Algebra. To je všeobecne pravda, keď pridáme termín #X# v exponente k jednému #X# javí ako lineárny alebo vyšší výkon.

To je koniec odpovede pre väčšinu študentov. Ale môžeme ísť hlbšie. Protokol produktu je zaujímavá funkcia.Zvážte rovnicu

#k = xe ^ x #

Na pravej strane je rastúca funkcia #X#, tak to bude krížiť # K # skôr či neskôr. Užívanie denníka nás naozaj nedostane nikam: #ln k = ln x + x #.

Potrebujeme niečo ako log, ale nie ten, ktorý je inverzný # E ^ x #, Musí to byť opačná # Xe ^ x #, To sa nazýva Log produktu alebo funkcia Lambert W, definovaná ako:

#k = xe ^ x # reálne riešenie #x = W (k) #.

Obmedzíme našu pozornosť na reality. Je to zábavné pokúsiť sa objaviť # W '#s vlastnosťami. Základný, ktorý máme, je

#W (xe ^ x) = x #

Poďme # X = vy ^ y # v nasledujúcom texte #W (x) = y #, teraz

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

To je super. Čo tak

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

Preberanie denníkov, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) quad # za predpokladu, že sú definované denníky

Teraz, keď vidíte, aké to je pracovať s W, zistite, či ho môžete použiť na vyriešenie rovnice, alebo na kontrolu riešenia Alpha

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #