Prečo nemôžeme integrovať x ^ x?

odpoveď:

Nemáme pre to pravidlo.

vysvetlenie:

V integráloch máme štandardné pravidlá. Anti-reťazec pravidlo, anti-pravidlo výrobku, anti-moc pravidlo, a tak ďalej. Ale nemáme jednu pre funkciu, ktorá má #X# v základni a výkone. Môžeme si z toho odvodiť, ale snažiť sa o jeho integráciu je nemožné kvôli nedostatku pravidiel, s ktorými bude pracovať.

Ak otvoríte kalkulačku Desmos Graphing Calculator, môžete sa pokúsiť pripojiť

# int_0 ^ x a ^ ada #

a bude to v poriadku. Ale ak sa pokúsite použiť anti-power pravidlo alebo anti-exponent pravidlo graf proti nemu, uvidíte, že zlyhá. Keď som sa ho pokúsil nájsť (na ktorom stále pracujem), prvým krokom bolo dostať sa z tohto formulára do nasledujúcich oblastí:

# Inte ^ (XLN (x)) dx #

To nám v podstate umožňuje použiť pravidlá kalkulu o niečo lepšie. Ale aj keď používate integráciu podľa častí, nikdy sa nezbavíte integrálu. Preto v skutočnosti nedostanete funkciu na jej určenie.

Ale ako vždy v matematike, je to zábava experimentovať.Takže choďte do toho a skúste, ale nie príliš dlho alebo tvrdo, dostanete sa do tohto králičieho otvoru.

odpoveď:

Pozri nižšie.

vysvetlenie:

#y = x ^ x # integrovať. Napríklad

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0,783430510712135 … #

ďalšia vec je mať teraz dni, funkciu # F (x) # ktorý predstavuje v uzavretej forme primitívny pre # X ^ x # alebo inými slovami

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Keby to bola funkcia bežného používania v technicko-vedeckých problémoch, určite by sme vymysleli diferencované meno a symbol, aby sme s ním mohli manipulovať. Rovnako ako Lambertova funkcia definovaná ako

#W (x) = x e ^ x #

odpoveď:

Pozri nižšie.

vysvetlenie:

Ako naznačil Cesareo (bez povšimnutia), v „nemôžeme integrovať“ existuje určitá nejednoznačnosť.

Funkcia #f (x) = x ^ x # je nepretržite zapnutý # (0, oo) #

a ďalej # 0, oo) # ak to urobíme # F (0) = 1 #Tak to urobme. Preto definitívny integrál

# int_a ^ b x ^ x dx # existuje pre všetkých # 0 <= a <= b #

Okrem toho, základná veta calulus nám hovorí, že táto funkcia # int_0 ^ x t ^ t dt # má derivát # X ^ x # pre #x> = 0 #

To, čo nemôžeme urobiť, je vyjadriť túto funkciu v peknej, konečnej, uzavretej forme algebraických výrazov (alebo dokonca dobre známych transcendentných funkcií).

Existuje mnoho vecí v matematike, ktoré sa nedajú vyjadriť, okrem formy, ktorá umožňuje postupne lepšie aproximácie.

Napríklad:

Číslo, ktorého štvorec je #2# nemôžu byť vyjadrené v desiatkovej alebo zlomkovej forme pomocou konečného výrazu. Dáme mu symbol, # # Sqrt2 a aproximujte ho na ľubovoľnú úroveň presnosti.

Pomer obvodu k priemeru kruhu nemôže byť konečne vyjadrený pomocou konečnej algebraickej kombinácie celých čísel, takže mu dáme meno, # # Pi a aproximujte ho na ľubovoľnú úroveň presnosti.

Riešenie # X = cosx # môže byť tiež aproximovaný na ľubovoľný požadovaný stupeň presnosti, ale nemôže byť definitívne vyjadrený. Toto číslo nie je dosť dôležité na to, aby bolo možné uviesť meno.

Ako povedal Cesareo, ak integrál # X ^ x # mal mnoho aplikácií, matematici by pre to prijali meno.

Výpočty však stále vyžadujú nekonečnú aproximáciu.