Otázka # 92256

odpoveď:

Pozri vysvetlenie

vysvetlenie:

Rozdeľte ho na dve časti, najprv na vnútornú časť:

# E ^ x #

To je pozitívne a rastie pre všetky reálne čísla a ide z 0 na # # Oo ako #X# odchádza # # -OO na # # Oo

Máme:

#arctan (u) #

Má pravú horizontálnu asymptotu na # Y = pi / 2 #, Odchod # u = 0 rarr oo #, na # U = 0 # táto funkcia je pozitívna a zvyšuje sa nad touto doménou, má hodnotu 0 na # U = 0 #, hodnota # Pi / 4 # na # U = 1 # a hodnotu # Pi / 2 # na # U = oo #.

Tieto body sa preto dostanú na # X = -OO, 0, oo # Výsledkom je graf, ktorý vyzerá takto:

graf {arctan (e ^ x) -10, 10, -1,5, 3}

Ktorá je pozitívna časť # # Arctan Funkcia sa natiahne cez celú reálnu čiaru, pričom ľavá hodnota sa natiahne do horizontálnej asymptoty na # Y = 0 #.

odpoveď:

Pozri vysvetlenie

vysvetlenie:

doména je # RR #

symetria

Ani s ohľadom na #X# axis ani w.r.t pôvod.

#arctan (e ^ (- x)) # nezjednodušuje #arctan (e ^ x) #

ani na # -Arctan (e ^ x) #

zachytí

#X# záchytky: žiadne

Nemôžeme sa dostať #y = 0 # pretože by to vyžadovalo # e ^ x = 0 #

ale # E ^ x # nikdy nie je #0#, iba sa približuje #0# ako # Xrarr-oo #.

takže, # # Yrarr0 ako # Xrarr-oo # a #X# os je vodorovná

asymptoty vľavo.

# Y # zachytiť: # Pi / 4 #

Kedy # X = 0 #, dostaneme #y = arctan (1) = pi / 4 #

asymptoty:

Vertikálne: žiadne

# # Arctan je medzi # -Pi / 2 # a # Pi / 2 # podľa definície, tak nikdy nejde # # Oo

horizontálne:

vľavo: # Y = 0 # ako je uvedené vyššie

Správny: # Y = pi / 2 #

Vieme, že # Thetararrpi / 2 # s #theta <pi / 2 #, dostaneme #tantheta rarr oo #

tak ako # # Xrarroo, dostaneme # e ^ x rarroo #, takže # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

Prvý derivát

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # nikdy nie je #0# a nikdy nedefinované, takže neexistujú žiadne kritické čísla.

Pre každého #X# máme #y '> 0 # takže funkcia sa zvyšuje # (- oo, oo) #

Neexistujú žiadne lokálne extrémy.

Druhý derivát

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (E ^ x (1-e ^ (2 x))) / (1 + e ^ (2 x)) ^ 2 #

#Y '' # nie je nikdy nedefinovaná a je #0# na # X = 0 #

Sign #Y '' #:

na # (- oo, 0) #, dostaneme # e ^ (2x) <1 # tak #y ''> 0 # a graf je konkávny

na # (0, oo) #, dostaneme # e ^ (2x)> 1 # tak #y '' <0 # a graf je konkávny

Konvexita sa mení na # X = 0 #, takže inflexný bod je:

# (0, pi / 4) #

Teraz nakreslite graf