Otázka # 53a2b + Príklad

odpoveď:

Táto definícia vzdialenosti je pri zmene inerciálneho rámca nemenná, a preto má fyzikálny význam.

vysvetlenie:

Minkowskiho priestor je konštruovaný ako 4-rozmerný priestor s parametrami súradníc # (X_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, kde zvyčajne hovoríme # X_0 = ct #, V jadre špeciálnej relativity máme Lorentzove transformácie, ktoré sú transformáciami z jedného inerciálneho rámca na druhý, ktorý zanecháva rýchlosť svetelného invariantu. Nebudem ísť do úplného odvodenia Lorentzových transformácií, ak chcete, aby som to vysvetlil, len sa spýtam a pôjdem do podrobnejších detailov.

Dôležité je nasledovné. Keď sa pozrieme na euklidovský priestor (priestor, v ktorom máme zvyčajnú definíciu dĺžky, na ktorú sme zvyknutí) # Ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), máme určité transformácie; priestorové rotácie, preklady a zrkadlá. Ak vypočítame vzdialenosť medzi dvoma bodmi v rôznych referenčných rámcoch spojených týmito transformáciami, zistíme, že vzdialenosť je rovnaká. To znamená, že euklidovská vzdialenosť je pri týchto transformáciách nemenná.

Teraz rozširujeme tento pojem na 4-rozmerný časopriestor. Pred Einsteinovou teóriou špeciálnej relativity sme spojili inerciálne snímky pomocou Galileiho transformácií, ktoré práve nahradili priestorovú súradnicu # # X_i podľa # X_i-v_it # pre #iin {1,2,3} # kde # # V_i je rýchlosť pozorovateľa v. t # Aj # smeru k pôvodnému rámu. Táto transformácia nezanechala rýchlosť svetelného invariantu, ale opustila vzdialenosť vyvolanú elementom čiary # Ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #, jednoducho preto, že neexistuje žiadna zmena časovej súradnice, takže čas je absolútny.

Transformácia Galilei však presne neopisuje transformáciu jedného inerciálneho rámca na druhý, pretože vieme, že rýchlosť svetla je pri správnych transformáciách súradníc nemenná. Preto sme zaviedli Lorentzovu transformáciu. Euklidovská vzdialenosť rozšírená na 4-dim spacetime, ako sa to robí vyššie, nie je nemenná pri tejto Lorentzovej transformácii, avšak vzdialenosť indukovaná # Ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # je, ktorú nazývame správna vzdialenosť. Takže aj keď táto euklidovská vzdialenosť, v ktorej sa Pytagorova teoréma nachádza, je dokonale slušná matematická štruktúra na 4 dim priestore, nemá žiadny fyzický význam, pretože je závislá od pozorovateľa.

Správna vzdialenosť nie je závislá od pozorovateľa, preto mu môžeme dať fyzický význam, čo sa robí spojením dĺžky svetovej línie cez priestor Minkowski pomocou tejto vzdialenosti k uplynulému času pozorovanému objektom, ktorý sa pohybuje pozdĺž tejto svetovej línie. Všimnite si, že ak ponecháme čas fixovaný, Pytagorova teoréma stále drží v priestorových súradniciach.

EDIT / ĎALŠIE VYSVETLENIE:

Pôvodný pýtateľ tejto otázky ma požiadal, aby som sa trochu viac rozpracoval, napísal: „Ďakujem. Ale môžete mi prosím vysvetliť posledné dva paras o niečo viac. # S ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 #, Vysvetlite prosím: „V podstate tu máme dvojrozmernú verziu toho, čo som opísal vyššie. Máme opis spacetime s jednou a jednou medzerou. Na tomto definujeme vzdialenosť, alebo presnejšie normu (vzdialenosť od pôvod k bodu) # S # pomocou vzorca # S ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # kde #X# je priestorová súradnica a # T # časovej súradnice.

To, čo som urobil vyššie, bola trojdimenzionálna verzia, ale čo je dôležitejšie, použil som # (Ds) ^ 2 # namiesto # S ^ 2 # (Pridal som zátvorky na objasnenie toho, čo je štvorcové). Bez toho, aby sme sa dostali do detailov diferenciálnej geometrie príliš veľa, ak máme čiaru spájajúcu dva body vo vesmíre, # Ds # je dĺžka malého kúska čiary, tzv. Prostredníctvom 2D verzie toho, čo som napísal vyššie, máme # Ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, ktorá súvisí s dĺžkou tejto maličkej kúsky s malou zmenou súradníc. Pre výpočet vzdialenosti od začiatku k bodu # X_0 = a, x 1 = b # v spacetime vypočítame dĺžku priamky idúcej od začiatku k tomuto bodu, tento riadok je daný # X_0 = a / bx_1 # kde # X_1in 0, b #Všimli sme si to # Dx_0 = a / bdx_1 #, takže # Ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, takže # DS = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, ktoré môžeme integrovať, dávať # Y = INT_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

teda # S ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x 1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # v # (T, x) # súradníc.

Takže naozaj to, čo som napísal vyššie, dáva to, čo čítate v knihe. Verzia líniového prvku vám však umožňuje vypočítať dĺžku ľubovoľnej čiary, nie len priamky. Príbeh o Lorentzovej transformácii stále platí, táto norma # S # je nemenná pri zmene referenčného rámca, zatiaľ čo # X ^ 2 + (ct) ^ 2 # nie je.

Skutočnosť, že Pytagorova teória sa nedrží, nie je taká prekvapujúca. Pythagorova veta má euklidovskú geometriu. To znamená, že priestor, v ktorom pracujete, je plochý. Príkladom priestorov, ktoré nie sú ploché, je povrch gule. Ak chcete nájsť vzdialenosť medzi dvoma bodmi na tejto ploche, budete mať dĺžku najkratšej cesty cez túto plochu spájajúcu tieto dva body. Ak by ste na tomto povrchu vytvorili pravouhlý trojuholník, ktorý by bol veľmi odlišný od trojuholníka v euklidovskom priestore, pretože čiary by neboli rovné, Pytagorova teoréma vo všeobecnosti nedrží.

Ďalším dôležitým znakom euklidovskej geometrie je, že keď do tohto priestoru vložíte súradnicový systém, každá súradnica plní rovnakú úlohu. Mohli by ste otočiť osi a skončiť s rovnakou geometriou. V Minkowskiho geometrii nie všetky súradnice majú rovnakú úlohu, pretože časové osi majú znamienko mínus v rovniciach a ostatné nie. Ak toto znamienko mínus nebolo, čas a priestor by mali podobnú úlohu v časopriestore, alebo aspoň v geometrii. Ale vieme, že priestor a čas nie sú rovnaké.