Dokážte, že číslo sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n)) nie je racionálne pre akékoľvek prirodzené číslo n väčšie ako 1?

odpoveď:

Pozrite si vysvetlenie …

vysvetlenie:

Predpokladajme, že:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # je racionálne

Potom musí byť jeho námestie racionálne, tzn.:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

a teda teda:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

Môžeme opakovane kvadratizovať a odpočítavať, aby sme zistili, že nasledovné musí byť racionálne:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

z toho dôvodu # N = k ^ 2 # pre niektoré kladné celé číslo #k> 1 # a:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Poznač si to:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

z toho dôvodu # K ^ 2 + K-1 # nie je štvorcom celého čísla a #sqrt (k ^ 2 + k-1) # je iracionálne, odporujúce nášmu tvrdeniu, že #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # je racionálne.

odpoveď:

Pozri nižšie.

vysvetlenie:

Za predpokladu, #sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # s # P / q # máme neredukovateľné

#sqrtn = (cdots ((((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1) = P / Q #

čo je absurdné, pretože podľa tohto výsledku je každá druhá odmocnina kladného čísla racionálna.