Čo je derivácia y = (sinx) ^ x?

odpoveď:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

vysvetlenie:

Použite logaritmickú diferenciáciu.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Použiť vlastnosti # Ln #)

Implicitne rozlišovať: (Použite pravidlo produktu a reťazec ruel)

# 1 / y dy / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Máme teda:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

Riešiť # Dy / dx # vynásobením číslom #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

odpoveď:

# D / dx (sinx) ^ x = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

vysvetlenie:

Najjednoduchší spôsob, ako to vidieť, je použiť:

# (Sinx) ^ x = e ^ (ln ((sinx) ^ x)) = e ^ (XLN (sinx)) #

Ak vezmeme tento derivát, dá to:

# D / dx (sinx) ^ x = (d / dxxln (sinx)) e ^ (XLN (sinx)) #

# = (Ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + x (d / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Teraz musíme poznamenať, že ak # (Sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # je nedefinované.

Keď však analyzujeme správanie sa funkcie okolo #X#pre ktoré toto platí, zistíme, že sa táto funkcia správa dostatočne dobre na to, aby fungovala, pretože ak:

# (Sinx) ^ x # prístupy 0

potom:

#ln ((sinx) ^ x) # prístup # # -OO

so:

# E ^ (ln ((sinx) ^ x)) # bude tiež 0

Ďalej poznamenávame, že ak #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # bude zložité číslo; všetky algebry a kalkuly, ktoré sme použili aj v zložitej rovine, to však nie je problém.

odpoveď:

Viac všeobecne…

vysvetlenie:

# d / dx f (x) ^ g (x) = g (x) / f (x) f '(x) + g' (x) ln (f (x)) f (x) ^ g (x) #