Nech S je štvorec jednotkovej plochy. Uvažujme akékoľvek štvoruholník, ktorý má jeden vrchol na každej strane S. Ak a, b, c a d označujú dĺžky strán štvoruholníka, dokazujú, že 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

nechať #A B C D# byť štvorcom jednotkovej plochy.

tak # AB = BC = CD = DA = 1 # jednotkou.

nechať # # PQRS je štvoruholník, ktorý má jeden vrchol na každej strane štvorca. Tu nechajme # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = a #

Aplikácia Pythagoras thorem môžeme písať

# A ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# = X ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-X-Y-Z-W) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-X-Y-Z-W) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (Z-1/2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2) #

Teraz máme problém

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

z toho dôvodu

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #