Ako by ste určili rovnicu kruhu, ktorá prechádza bodmi D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15)?

odpoveď:

Nahraďte každý bod rovnicou kruhu, vytvorte 3 rovnice a odčítajte tie, ktoré majú aspoň 1 súradnicu (#X# alebo # Y #).

Odpoveď je:

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

vysvetlenie:

Rovnica kruhu:

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

Kde #α# #β# sú súradnice stredu kruhu.

Náhrada za každý daný bod:

Bod D

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (Rovnica 1)

Bod E

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (Rovnica 2)

Bod F

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (Rovnica 3)

Podružné rovnice #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

Podružné rovnice #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

Teraz to #α# a #β# sú známe, nahrádzajú ich v ktoromkoľvek z bodov (použijeme bod #D (-5, -5) #):

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

Takže rovnica kruhu sa stane:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

odpoveď:

Rovnica kruhu je # (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

vysvetlenie:

Najprv musíme nájsť rovnicu dvoch čiar, z ktorých každá je kolmá na segmenty tvorené párom daných bodov a prechádza stredom tohto páru bodov.

Keďže body D a E (# X_D = x_E = -5 #) sú v priamke rovnobežnej s osou-Y (# X = 0 #) a body E a F (t# Y_E = y_F = 15 #) sú v priamke rovnobežnej s osou-X (# Y = 0 #) je vhodné vybrať si tieto dvojice bodov.

Rovnica priamky DE, kde # X_D = x_E = -5 #

# X = -5 #

Rovnica priamky 1 kolmá na DE a prechádzajúca stredom #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

riadok 1# -> y = 5 #

Rovnica priamky EF, kde # Y_E = y_F = 15 #

# Y = 15 #

Rovnica priamky 2 kolmá na EF a prechádzajúca stredom #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) # => #M_EF (5,15) #

riadok 2# -> x = 5 #

Kombinovanie rovníc čiar 1 a 2 (# Y = 5 # a # X = 5 #) nájdeme stred kruhu, bod C

#C (5,5) #

Vzdialenosť medzi bodom C a ktorýmkoľvek z uvedených bodov sa rovná polomeru kruhu

# R = d_ (CD) = sqrt ((- 5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

Vo vzorci rovnice kruhu:

# (X-x_C) ^ 2 + (y-y_C) ^ 2 = R ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #