Otázka č. 242a2

odpoveď:

Pre energiu uloženú v kondenzátore v čase # T # máme #E (t) == E (0) exp (-2 t / (CR)) # kde #E (0) # je počiatočná energia, # C # kapacity a. t # R # odpor vodiča spájajúceho dve strany kondenzátora.

vysvetlenie:

Predtým, než odpovieme na túto otázku, skúmajme najprv niektoré základné pojmy. Samozrejme musíme poznať energiu uloženú v kondenzátore, alebo skôr energiu uloženú v elektrickom poli vytvorenom nábojom uloženým v kondenzátore. Na to máme vzorec # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # s # C # kapacita kondenzátora a. t # Q # náboj uložený na jednej z dosiek kondenzátorov. 1

Aby sme vedeli, ako sa energia znižuje, potrebujeme vedieť, ako sa poplatok znižuje. Na to by sme mali mať na pamäti niekoľko vecí. Prvá vec je, že poplatok sa môže znížiť len vtedy, keď môže ísť kamkoľvek. Najjednoduchším scenárom je, že tieto dve dosky sú prepojené pomocou drôtu, takže dosky môžu vymieňať náboj tak, aby boli neutrálne. Druhá vec je, že ak by sme predpokladali, že drôt nebude mať odpor, náboj by sa mohol pohybovať okamžite, takže energia by pri tejto rýchlosti klesla na nulu. Pretože je to nudná situácia a okrem toho nie je reálne, predpokladáme, že drôt má určitý odpor # R #, ktoré môžeme modelovať pripojením kondenzátorových dosiek cez odpor s odporom # R # s použitím odporových vodičov.

To, čo teraz máme, je tzv. RC-okruh, pozri nižšie. Aby sme zistili, ako sa zmenili uložené poplatky, musíme zapísať nejakú diferenciálnu rovnicu. Nie som si istý, ako je zdatný čitateľ v matematike, tak dajte mi prosím vedieť, či je pre vás nasledujúca časť nejasná, a ja sa to pokúsim podrobnejšie vysvetliť.

V prvom rade si všimneme, že keď ideme pozdĺž drôtu, zažívame dva skoky elektrického potenciálu (napätia), konkrétne na kondenzátore a na odpore. Tieto skoky sú dané # DeltaV_C = Q / C # a # DeltaV_R = IR # 1. Poznamenávame, že spočiatku nie je žiadny prúd, takže potenciálny rozdiel oproti rezistoru je 0, avšak, ako uvidíme, bude existovať prúd, keď sa poplatky začnú pohybovať. Teraz si všimneme, že keď ideme okolo okruhu od jedného bodu, skončíme znova v tom istom bode, pretože sme v okruhu. V tomto jedinom bode je potenciál rovnaký v oboch časoch, pretože je to rovnaký bod. (Keď poviem, že ideme pozdĺž okruhu, nemyslím to doslovne, skôr kontrolujeme skoky napätia na okruhu v jednom okamihu času, takže pri chôdzi po okruhu neprebieha žiadny čas, preto argument platí, aj keď zmeny v čase.)

To znamená, že celkový potenciálny skok je nula. tak # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #, Teraz premýšľame o čom # Aj #, prúd je. Prúd sa nabíja, kladný náboj sa odvádza z jednej dosky kondenzátora a dodáva sa na druhý. (Vlastne väčšinu času je to naopak, ale nezáleží na matematike tohto problému.) To znamená, že prúd sa rovná zmene náboja na doskách, inými slovami # I = (DQ) / dt #, Nahradenie tohto v rovnici vyššie nám dáva # (DQ) / DTR + Q / C = 0 #, čo znamená # (DQ) / dt = Q / (CR) #, Ide o tzv. Lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu. Ten diktuje zmenu v poplatkoch hodnotou poplatku v tej dobe lineárnym spôsobom, čo znamená, že ak by bol poplatok dvakrát vyšší, zmena poplatku by bola dvojnásobne vyššia. Túto rovnicu môžeme vyriešiť inteligentným použitím počtu.

# (DQ) / dt = Q / (CR) #, predpokladáme # # Qne0, Ktorý nie je spočiatku, a ako to dopadne, nikdy to nebude. Pomocou tohto môžeme povedať # 1 / Q (DQ) / dt = -1 / (CR) #, Vedieť # Q # v určitom čase # T # (inými slovami #Q (t) #, integrujeme rovnicu takto: # INT_0 ^ t1 / (Q (t ')) (DQ (t')) / (dt ') dt' = INT_0 ^ t1 / (CR) dt '= - t / (CR) # od tej doby # C # a # R # sú konštanty. # INT_0 ^ t1 / (Q (t ')) (DQ (t')) / (dt ') dt' = int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (DQ) / Q = ln ((Q (t)) / (Q (0))) # prostredníctvom zmeny premenných. To znamená #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #, takže #Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.

Nakoniec je potrebné, aby sme to nahradili v rovnici pre energiu:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2 t / (CR)) = E (0) exp (-2 t / (CR)) #.

Takže energia padá exponenciálne časom. V skutočnosti to vidíme, ak # R # mali ísť na nulu, #E (t) # okamžite prejde na 0.

1 Griffiths, David J. Úvod do elektrodynamiky, Štvrté vydanie. Pearson Education Limited, 2014