Aké sú testy deliteľnosti rôznych čísel?

Existuje mnoho testov deliteľnosti. Tu je niekoľko, spolu s tým, ako môžu byť odvodené.

• Celé číslo je deliteľné znakom #2# ak je posledná číslica vyrovnaná.

• Celé číslo je deliteľné znakom #3# ak súčet jeho číslic je deliteľný 3.

• Celé číslo je deliteľné znakom #4# ak celé číslo tvorené poslednými dvoma číslicami je deliteľné číslom 4.

• Celé číslo je deliteľné znakom #5# ak je posledná číslica 5 alebo 0.

• Celé číslo je deliteľné znakom #6# ak je deliteľné 2 a 3.

• Celé číslo je deliteľné znakom #7# ak odpočítanie dvojnásobku poslednej číslice od celého čísla vytvoreného odstránením poslednej číslice je násobkom 7.

• Celé číslo je deliteľné znakom #8# ak je celé číslo tvorené poslednými tromi číslicami deliteľné číslom 8 (toto môže byť jednoduchšie, ak si všimneme, že pravidlo je rovnaké ako pre 4s, ak je stovka číslic rovná a naopak)

• Celé číslo je deliteľné znakom #9# ak je súčet číslic deliteľný číslom 9.

• Celé číslo je deliteľné znakom #10# ak je posledná číslica #0#

Pre tieto a ďalšie témy sa pozrite na stránku wikipedia pre pravidlá deliteľnosti.

Teraz sa možno čuduje, ako s týmito pravidlami prísť, alebo aspoň ukázať, že skutočne fungujú. Jedným zo spôsobov, ako to dosiahnuť, je typ matematiky nazývaný modulárna aritmetika.

V modulárnej aritmetike vyberáme celé číslo # N # ako modul a potom zaobchádzať s každým iným číslom ako s bytím congruent modulo # N # na zvyšok, ak ich vydelíme # N #, Jednoduchý spôsob, ako premýšľať o tom je, že môžete pridať alebo odpočítať # N # bez zmeny hodnoty celočíselného modulu n. Je to to isté ako na analógových hodinách, čím sa v rovnakom čase pridá dvanásť hodín. Pridanie hodín na hodinách je navyše modulo #12#.

Modulárna aritmetika je veľmi užitočná pri určovaní pravidiel deliteľnosti akýkoľvek celé číslo # A # a kladné celé číslo # B #Môžeme to povedať # A # je deliteľné # B # ak a len vtedy, ak

# a- = 0 "(mod b)" # (# A # je v súlade #0# modulo # B #).

Využime toto, aby sme videli, prečo pravidlo rozdeliteľnosti pre #3# funguje. Urobíme to pomocou príkladu, ktorý by mal ukázať všeobecnú koncepciu. V tomto príklade uvidíme prečo #53412# je deliteľné #3#, Pamätajte, že pridanie alebo odčítanie #3# nebude meniť hodnotu celočíselného modulu #3#.

#53412# je deliteľné #3# ak a len vtedy, ak # 53412 - = 0 "(mod 3)" #

Ale aj preto, že #10 -3 -3 -3 = 1#, máme # 10 - = 1 "(mod 3)" #

teda:

# 53412 - = 5 * 10 ^ 5 + 3 * 10 ^ 4 + 4 * 10 ^ 3 + 1 * 10 ^ 2 + 2 "(mod 3)" # #

# - = 5 * 1 ^ 5 + 3 * 1 ^ 4 + 4 * 1 ^ 3 + 1 * 1 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

#color (červená) (- = 5 + 3 + 4 + 1 + 2 "(mod 3)") #)

# - = 3 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 "(mod 3)" #

teda #53412# je deliteľné #3#, Červený krok ukazuje, prečo môžeme jednoducho spočítať číslice a skontrolovať, či namiesto toho, aby sme sa snažili rozdeliť pôvodné číslo #3#.