Ako zistíte asymptoty pre y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

odpoveď:

vertikálne

# X = 1 #

# X = 3 #

horizontálne

# X = 1 # (pre oba # + - oo #)

šikmý

Neexistujú

vysvetlenie:

nechať # Y = f (x) #

• Vertikálne asymptoty

Nájsť hranice funkcie, ako to inklinuje k hraniciam svojej domény okrem nekonečna. Ak je ich výsledok nekonečný, potom #X# riadok je asymptota. Táto doména je:

#xv (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Takže 4 možný vertikálne asymptoty sú:

#lim_ (X> 1 ^ -), f (x) #

#lim_ (X> 1 ^ +), f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -), f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

Asymptote # X-> 1 ^ - #

#lim_ (X> 1 ^ -), f (x) = lim_ (X> 1 ^ -), (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (X-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Vertikálne asymptota pre # X = 1 #

Poznámka: pre # X-1 # od tej doby #X# výsledok je o niečo nižší ako 1, výsledok bude o niečo nižší ako 0, takže znamienko bude záporné, teda poznámka #0^-# ktoré sa neskôr premieta do záporného znamienka.

Potvrdenie pre asymptotu # X> 1 ^ + #

#lim_ (X> 1 ^ +), f (x) = lim_ (X> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (X-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -OO # potvrdená

Asymptote # X-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -), f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (X-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -OO # Vertikálne asymptota pre # X = 3 #

Potvrdenie pre asymptotu # X-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (X-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # potvrdená

• Horizontálne asymptoty

Nájdite obidva limity, pretože funkcia má tendenciu # + - oo #

Mínus nekonečno #X -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (X-3)) = #

# = Lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = Lim_ (x -> - oo) (zrušiť (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (zrušiť (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Horizontálna asymptota pre # Y = 1 #

Plus nekonečno #X -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (X-3)) = #

# = Lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = Lim_ (x -> + oo) (zrušiť (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (zrušiť (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Horizontálna asymptota pre # Y = 1 #

Poznámka: Len tak sa stáva, že táto funkcia má spoločnú horizontálnu hodnotu pre obe # # -OO a # + Oo #, Vždy by ste mali skontrolovať oboje.

• Šikmé asymptoty

Najprv musíte nájsť obidva limity:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

Ak je tento limit reálne číslo, potom asymptota existuje a limit je jeho sklon. # Y # zachytenie každého z nich je limit:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Avšak, aby nám zachránil problémy, môžete použiť niektoré funkcie "znalosti", aby sa zabránilo tomuto. Pretože vieme # F (x) # má horizontálny asymptot pre obidve # + - oo # jediný spôsob, ako mať šikmý, je mať inú čiaru ako #X -> + - oo #, Avšak, # F (x) # je a #1-1# fungovať, takže nemôžu byť dve # Y # hodnoty pre jednu #X#, preto je druhý riadok nemožný, takže je nemožné mať šikmé asymptoty.