Akord s dĺžkou 12 beží od pi / 12 do pi / 6 radiánov na kruhu. Aká je plocha kruhu?

odpoveď:

Plocha kruhu je

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

vysvetlenie:

Obrázok vyššie odráža podmienky stanovené v probléme. Všetky uhly (zväčšené pre lepšie pochopenie) sú v radiánoch počítaných od horizontálnej osi X. #VÔL# proti smeru hodinových ručičiek.

# AB = 12 #

# / _ Xoa = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Aby sme mohli určiť jeho plochu, musíme nájsť polomer kruhu.

Vieme, že akord # AB # má dĺžku #12# a uhol medzi polomermi # # OA a # # OB (kde # O # je stred kruhu) je

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Vytvorte nadmorskú výšku # OH # trojuholníka #Delta AOB # z vrcholu # O # na stranu # AB #, od tej doby #Delta AOB # sú rovnoramenné, # OH # je stredná a uhlová os:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Zvážte pravouhlý trojuholník #Delta AOH #.

Vieme, že katétr # AH = 6 # a uhol # / _ AOH = pi / 24 #.

Preto sa prepona # # OA, čo je polomer nášho kruhu # R #, rovná sa

# R = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Ak poznáme polomer, nájdeme oblasť:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Vyjadrme to bez trigonometrických funkcií.

od tej doby

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

môžeme túto oblasť vyjadriť takto:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Ďalšia goniometrická identita:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi) / 2 #

Z tohto dôvodu

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2 / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Teraz môžeme reprezentovať oblasť kruhu ako

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

odpoveď:

Ďalší prístup rovnaký výsledok

vysvetlenie:

Akord AB dĺžky 12 vo vyššie uvedenom obrázku beží od# Pi / 12 # na # Pi / 6 # v kruhu s polomerom r a stred O, braný ako pôvod.

# / _ AOX = pi / 12 # a # / _ BOX = pi / 6 #

Polárna súradnica A # = (R, pi / 12) # a B # = (R, pi / 6) #

Uplatnenie vzorca vzdialenosti pre polárnu súradnicu

dĺžka akordu AB,# 12 = sqrt (R ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Takže plocha kruhu

# = Pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #