Čo sa rovná (3 + i) ^ (1/3) vo forme + bi?

odpoveď:

#root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

vysvetlenie:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alfa) + i sin (alfa)) # kde #alpha = arctan (1/3) #

tak

#root (3) (3 + i) = root (3) (sqrt (10)) (cos (alfa / 3) + i sin (alfa / 3)) #

# = root (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + i sin (1/3 arctan (1/3))) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

od tej doby # 3 + i # je v Q1, táto hlavná kocka koreň # 3 + i # je tiež v Q1.

Dve ďalšie kocky korene # 3 + i # sú vyjadriteľné pomocou primitívneho komplexného kockového jadra jednoty #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

#omega (koreň (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + koreň (6) (10) hriech (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = koreň (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) + koreň (6) (10) hriech (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) i #

# omega ^ 2 (koreň (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + koreň (6) (10) hriech (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) + koreň (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) i #