Sila pôsobiaca na objekt pohybujúci sa vodorovne na lineárnej dráhe je opísaná pomocou F (x) = x ^ 2-3x + 3. Koľko sa mení kinetická energia objektu, keď sa objekt pohybuje od x v [0, 1]?

odpoveď:

Newtonov druhý zákon pohybu:

# F = m * a #

Definície zrýchlenia a rýchlosti:

# A = (du) / dt #

# U = (dx) / dt #

Kinetická energia:

# K = m * u ^ 2/2 #

Odpoveď je:

# Delta K = 11/6 # # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

vysvetlenie:

Newtonov druhý zákon pohybu:

# F = m * a #

# X ^ 2-3x + 3 = m * a #

dosadením # A = (du) / dt # nepomôže s rovnicou, pretože # F # nie je daná ako funkcia # T # ale ako funkcia #X# Možno však použiť:

# A = (du) / dt = (du) / dt * (dx) / dx = (dx) / dt * (du) / dx #

ale # (Dx) / dt = u # so:

# A = (dx) / dt * (du) / dx = u * (du) / dx #

Substitúciou do rovnice, ktorú máme, máme diferenciálnu rovnicu:

# X ^ 2-3x + 3 = m * u (du) / dx #

# (X ^ 2-3x + 3) dx = m * Udu #

#int_ (x 1) ^ (x_2) (x ^ 2-3x + 3) dx = int_ (u_1) ^ (u_2) m * Udu #

Tieto dve rýchlosti nie sú známe, ale pozície #X# sú známe. Hmotnosť je tiež konštantná:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3x + 3) dx = m * int_ (u_1) ^ (u_2) Udu #

# X ^ 3 / 3-3x ^ 2/2 + 3 _0 ^ 1 = m * u ^ 2/2 _ (u_1) ^ (u_2) #

# (1 ^ 3 / 3-3 * 1 ^ 2/2 + 3 * 1) - (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (u_2 ^ 2 / 2- u_1 ^ 2/2) #

# 11/6 = m * u_2 ^ 2/2-m * u_2 ^ 2/2 #

ale # K = m * u ^ 2/2 #

# 11/6 = k_2-K_1 #

# Delta K = 11/6 # # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Poznámka: jednotky sú # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 # iba ak sú dané vzdialenosti # (xv 0,1) # sú v metroch.