Integrácia 1 / (1 + x ^ 3) dx?

odpoveď:

# 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6LN | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

vysvetlenie:

Začať faktorizáciou menovateľa:

# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) #

Teraz môžeme urobiť čiastkové zlomky:

# 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x 1) #

Nájdeme # A # pomocou metódy cover-up:

# A = 1 / ((text (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 #

Ďalej môžeme znásobiť obe strany menovateľom LHS:

# 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) #

# 1 = 1/3 x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + bx + cx + C #

# 1 = (1/3 + B) x ^ 2 + (B + C-1/3) x + (C + 1/3) #

To dáva nasledujúce rovnice:

# 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 #

# C + 1/3 = 1> C = 2/3 #

To znamená, že môžeme prepísať náš pôvodný integrál:

#int 1 / (1 + x ^ 3) dx = 1 / 3int 1 / (x + 1) - (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Prvý integrál môže byť vykonaný pomocou explicitnej u-substitúcie, ale je dosť jasné, že odpoveď je #ln | x + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx) #

Zostávajúci integrál môžeme rozdeliť na dva:

#int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) dx = #

# = 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) dx) #

Dôvod pre podvod s násobením a delením #2# je uľahčiť použitie menovateľa na ľavej strane u-substitúcie na.

Zavolám ľavý integrál Integral 1 a pravý integrál Integral 2

Integrálne 1

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Keďže sme už tento integrál pripravili na substitúciu, všetko, čo potrebujeme urobiť, je nahradiť # U = x ^ 2-x + 1 #a derivát je # 2x-1 #, a preto sa delíme, aby sme sa mohli integrovať # U #:

#int zrušiť (2x-1) / (zrušiť (2x-1) * u) du = int 1 / u = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C #

Integrálne 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx #

Chceme dostať tento integrál do formulára:

#int 1 / (1 + t ^ 2) d = tan ^ -1 (t) + C #

Aby sme to mohli urobiť, musíme vyplniť štvorec pre menovateľa:

# X ^ 2-x + 1 = (x-1/2) ^ 2 + k #

# X ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x + 1/4 + k #

# K = 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx = 3int 1 / ((x-1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Chceme zaviesť u-substitúciu tak, aby:

# (X-1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

# X-1/2 = sqrt3 / 2u #

# X = sqrt3 / 2U + 1/2 #

Vynásobíme derivátom vzhľadom na # U # integrovať s ohľadom na # U #:

# Dx / (du) = sqrt (3) / 2 #

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) d = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) = =

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Vyplnenie pôvodného integrálu

Teraz, keď poznáme odpoveď na Integral 1 a Integral 2, môžeme ich pripojiť späť do pôvodného výrazu, aby sme získali konečnú odpoveď:

# 1/3 (ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3)) + C = #

# = 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6LN | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

odpoveď:

# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #

vysvetlenie:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3krát (3dx) / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3krát dx / (x + 1) #-# 1 / 3krát ((x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2-x + 1) + C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2 dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / ((2x-1) ^ 2 + 3) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #