Ako rozdeľujete (i + 3) / (-3i +7) v trigonometrickom tvare?

odpoveď:

# 0,311 + 0.275 #

vysvetlenie:

Najprv prepíšem výrazy vo forme # A + bi #

# (3 + i) / (7-3i) #

Pre komplexné číslo # Z = a + bi #, # Z = r (costheta + isintheta) #, kde:

• # R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #
• # Theta = tan ^ -1 (b / a) #

Zavoláme # 3 + i # # # Z_1 a # # 7-3i # # Z_2.

pre # # Z_1:

# Z_1 = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) #

# R_1 = sqrt (3 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (9 + 1) = sqrt (10) #

# Theta_1 = tan ^ -1 (1/3) = 0,32 ^ c #

# Z_1 = sqrt (10) (cos (0,32) + ISIN (0,32)) #

pre # # Z_2:

# Z_2 = R_2 (costheta_2 + isintheta_2) #

# R_2 = sqrt (7 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt (58) #

# Theta_2 = tan ^ -1 (-3/7) = - 0,40 ^ c #

Odvtedy # # 7-3i je v kvadrante 4, potrebujeme získať pozitívny uhol ekvivalentu (záporný uhol sa pohybuje v smere hodinových ručičiek okolo kruhu a potrebujeme uhol proti smeru hodinových ručičiek).

Ak chcete získať pozitívny uhol ekvivalent, pridáme # # 2pi, # Tan ^ -1 (-3/7) + 2pi = 5,88 ^ c #

# Z_2 = sqrt (58) (cos (5,88) + ISIN (5,88)) #

pre # Z_1 / z_2 #:

# Z_1 / z_2 = r_1 / R_2 (cos (theta_1-theta_2) + ISIN (theta_1-theta_2)) #

#COLOR (biely) (z_1 / z_2) = sqrt (10) / sqrt (58) (cos tan ^ -1 (1/3) - (tan ^ -1 (-3/7) + 2pi) + ISIN tan ^ -1 (1/3) - (tan ^ -1 (-3/7) + 2pi)) #

#COLOR (biely) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos tan ^ -1 (1/3) -topenia ^ -1 (-3/7) -2pi + ISIN tan ^ -1 (1/3) -topenia ^ -1 (-3/7) -2pi) #

#COLOR (biely) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos (-5,56) + ISIN (-5,56)) #

#COLOR (biely) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29cos (-5.56) + isqrt (145) / 29sin (-5,56) #

#COLOR (biely) (z_1 / z_2) = 0,311 + 0.275 #

dôkaz:

# (3 + i) / (7-3i) * (7 + 3i) / (7 + 3i) = ((3 + i) (7 + 3i)) / ((7-3i) (7 + 3i)) = (21 + 7i + 9i + 3i ^ 2) / (49 + 21i-21i-9i ^ 2) = (21 + 16i + 3i ^ 2) / (49-9i ^ 2) #

# Aj ^ 2 = -1 #

# = (21 + 16i-3) / (49 + 9) = (18 + 16i) / 58 = 9/29 + 8 / 29i