Čo znamená -3sin (arccos (2)) - cos (arc cos (3)) rovná?

odpoveď:

Problém je nesolventný

vysvetlenie:

Neexistujú žiadne oblúky, ktorých kosínus je rovný 2 a 3.

Z analytického hľadiska # # ARccOS funkcia je definovaná iba na #-1,1# tak #arccos (2) # & #arccos (3) # neexistujú.

odpoveď:

Naozaj # # Cos a # # Sin toto nemá žiadne riešenie, ale ako funkcie komplexných čísel nájdeme:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

vysvetlenie:

Ako reálne hodnotené funkcie reálnych hodnôt #X#, funkcie #cos (x) # a #sin (x) # len hodnoty v rozsahu #-1, 1#, takže #arccos (2) # a #arccos (3) # sú nedefinované.

Je však možné rozšíriť definíciu týchto funkcií na komplexné funkcie #cos (z) # a #sin (z) # nasledovne:

Počnúc:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -sin (x) #

môžeme odvodiť:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

#sin (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

Preto môžeme definovať:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (- iz)) / (2i) #

pre akékoľvek komplexné číslo # Z #.

Je možné nájsť viac hodnôt # Z # ktoré uspokojujú #cos (z) = 2 # alebo #cos (z) = 3 #, takže by sa mohli urobiť určité voľby na definovanie hlavnej hodnoty #arccos (2) # alebo #arccos (3) #.

Ak chcete nájsť vhodných kandidátov, vyriešte # (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 = 2 #, atď.

Všimnite si však, že identita # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # platí pre akékoľvek komplexné číslo # Z #, takže môžeme odvodiť:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3) = + -sqrt (3) i #

Dúfam, že je možné definovať hodnotu istiny takým spôsobom, že #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # radšej než # -sqrt (3) i #.

V každom prípade, #cos (arccos (3)) = 3 # podľa definície.

Toto všetko spolu nájdeme:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #