Rozsah e ^ x / ([x] +1), x> 0 a kde [x] označuje najväčšie celé číslo?

odpoveď:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

vysvetlenie:

Predpokladám, že #X# je najmenšie celé číslo väčšie ako #X#, V nasledujúcej odpovedi použijeme notáciu #ceil (x) #, nazývaná funkcia stropu.

nechať #f (x) = e ^ x / (strop (x) +1) #, od tej doby #X# je prísne väčší ako #0#, to znamená, že doména # F # je # (0, + oo) #.

ako #X> 0 #, #ceil (x)> 1 # a odvtedy # E ^ x # je vždy pozitívny, # F # je vždy prísne väčšia ako #0# vo svojej oblasti. Je dôležité poznamenať, že # F # je nie injektívne a tiež nie je kontinuálne pri prirodzených číslach. Aby sme to dokázali, nech # N # byť prirodzené číslo:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

pretože #X> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

podobne #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Keďže ľavá a pravá hranica nie sú rovnaké, # F # nie je spojitá na celé čísla. tiež #L> R # pre všetkých #nv NN #.

ako # F # sa zvyšuje v intervaloch ohraničených kladnými celými číslami, "najmenšie hodnoty" na interval budú ako #X# približuje sa k dolnej hranici sprava.

Preto minimálna hodnota # F # Bude

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (strop (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

Toto je dolná hranica rozsahu # F #.

Aj keď to nie je naozaj správne povedať # F # rastie, je to v zmysle, asymptoticky, blíži sa nekonečno - ako je uvedené nižšie:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (strop (x) +1) #

ako #ceilx> = x #existuje a #delta <1 # takýmto spôsobom # Ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

nechať #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# E ^ u # exponenciálne sa zvyšuje # U # robí tak lineárne, to znamená

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Preto rozsah # F # je

# "Rozsah" = (1/2, oo) #

Interval je vľavo otvorený, pretože #http: // 2 # je stále # F (0) #, a ako #X# kroky #0^+#, # F (x) # iba prístupy #http: // 2 #; nikdy nie je rovnaká.