Minimálna hodnota f (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 je?

# F (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 #

# => F (x, y) = x ^ 2-2 * x * (3y) + (3y) ^ 2 + (2y) ^ 2-2 * (2y) * 1 + 1 ^ 2-3 #

# => F (x, y) = (x-3y) ^ 2 + (2y-1) ^ 2-3 #

Minimálna hodnota každého štvorcového výrazu musí byť nula.

tak # F (x, y) _ "min" = - 3 #

odpoveď:

Existuje relatívne minimum na úrovni #(3/2,1/2)# a # F (3 / 2,1 / 2) = - 3 #

vysvetlenie:

Myslím si, že musíme vypočítať čiastkové deriváty.

Tu, # F (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 #

Prvé čiastkové deriváty sú

# (DELF) / (delx) = 2x-6Y #

# (DELF) / (Dely) = 26y-6x-4 #

Kritické body sú

# {(2x-6Y = 0), (26y-6x-4 = 0):} #

#<=>#, # {(3y = x), (26y-6 * 3r-4 = 0):} #

#<=>#, # {(3y = x), (8y = 4):} #

#<=>#, # {(X = 3/2), (y = 1/2):} #

Druhé čiastkové deriváty sú

# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #

# (Del ^ 2f) / (Dely ^ 2) = 26 #

# (Del ^ 2f) / (delxdely) = - 6 #

# (Del ^ 2f) / (delydelx) = - 6 #

Determinantom Hessianovej matice je

#D (x, y) = | ((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (Dely ^ 2), (del ^ 2f) / (delydelx)) | #

#=|(2,-6),(-6,26)|#

#=52-36#

#=16>0#

ako #D (x, y)> 0 #

a

# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2> 0 #

Existuje relatívne minimum na úrovni #(3/2,1/2)#

a

# F (3 / 2,1 / 2) = 1,5 ^ 2 + 13 x 0,5 ^ 2-6 * 1,5 * 0,5 - 4 * 0,5-2 = -3 #