Čo je Hilbertov priestor? + Príklad

Hilbertov priestor je súbor prvkov s určitými vlastnosťami, konkrétne:

je to vektorový priestor (takže existujú operácie na jeho elementoch typických pre vektory, ako je násobenie skutočným číslom a pridanie, ktoré vyhovuje komutatívnym a asociačným zákonom);

existuje skalárny (niekedy nazývaný vnútorný alebo bodový) produkt medzi dvomi prvkami, ktoré majú za následok skutočné číslo.

Napríklad náš trojrozmerný euklidovský priestor je príkladom Hilbertovho priestoru so skalárnym produktom # X = (x 1, x_2, x_3) # a # Y = (y_1, y_2, y_3) # rovná # (X, y) = x 1 * y_1 + x_2 * y_2 + x_3 * y_3 #.

Zaujímavejším príkladom je priestor všetkých spojitých funkcií na segmente # A, b # so skalárnym produktom definovaným ako

# (f, g) = int_a ^ b f (x) * g (x) dx #

V kvantovej fyzike hrá Hilbert priestor veľmi dôležitú úlohu ako funkcia, ktorá popisuje stav systému # Psy # je prvok Hilbertovho priestoru.

Môžem odporučiť

http://www.phy.ohiou.edu/~elster/lectures/qm1_1p2.pdf

ako úvod do používania Hilbertovho priestoru v kvantovej fyzike.