Ako previesť r = 7 / (5-5costheta) do pravouhlej formy?

odpoveď:

To je bočná parabola # 70 x = 25 y ^ 2 - 49. #

vysvetlenie:

Tento je zaujímavý, pretože sa odlišuje; minimum menovateľa je nula. Je to kužeľová časť; Myslím si, že práve rozchádzajúca sa z neho robí parabolu. Na tom nezáleží, ale povie nám, že môžeme získať peknú algebraickú formu bez trig funkcií alebo štvorcových koreňov.

Najlepší prístup je sorta dozadu; používame polárne až obdĺžnikové substitúcie, keď sa zdá, že iný spôsob by bol priamejší.

#x = r cos theta #

#y = r sin theta #

tak # x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

Vidíme #r> 0 # Začneme vymazaním zlomku.

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

Máme #r cos theta # tak to je #X.#

# 5 r - 5 x = 7 #

# 5r = 5 x + 7 #

Naše prvé pozorovanie bolo #r> 0 # takže kvadratúra je v poriadku.

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

Teraz opäť nahrádzame.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

Technicky sme na túto otázku odpovedali v tomto bode a mohli by sme sa tu zastaviť. Ale je tu ešte algebra robiť, a dúfajme, že odmena na konci: možno môžeme ukázať, že je to vlastne parabola.

# 25 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 x + 49 #

# 25 y ^ 2 - 49 = 70 x #

# x = 1/70 (25 y ^ 2 - 49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

graf {x = 1/70 (25y2 - 49) -17,35, 50, -30, 30}

Áno, to je parabola, otočená # 90 ^ okruh #z obvyklej orientácie.

Skontrolujte: Alpha eyball