Predpokladajme, že z = x + yi, kde x a y sú reálne čísla. Ak (iz-1) / (z-i) je reálne číslo, ukážte, že keď (x, y) sa nerovná (0, 1), x ^ 2 + y ^ 2 = 1?

odpoveď:

Pozri nižšie,

ako # Z = x + iy #

# (Iz-1) / (Z-i) = (i (x + iy) -1) / (x + iy-i) #

= # (Ix-y-1) / (x + i (y-1)) #

= # (IX- (y + 1)) / (x + i (y-1)) XX (x-i (y-1)) / (x-i (y-1)) #

= # ((IX- (y + 1)), (x-i (y-1))) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (Ix ^ 2 + x (y-1) -X (y + 1) + i (r ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (X ((y-1) - (y + 1)) + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (- 2x + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

ako # (Iz-1) / (Z-i) # je skutočný

# (X ^ 2 + y ^ 2-1) = 0 # a # X ^ 2 + (y-1) ^ 2! = 0 #

Teraz ako # X ^ 2 + (y-1) ^ 2 # je súčet dvoch štvorcov, môže byť nula len vtedy, keď # X = 0 # a # Y = 1 # tj.

ak # (X, y) # nie je #(0,1)#, # X ^ 2 + y ^ 2 = 1 #