odpoveď:
Riešenie: # (x ~ ~ 106,26 ^ 0, x ~ ~ -106,26 ^ 0) #
vysvetlenie:
# 10 cos x +13 cos (x / 2) = 5; cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) -1 # alebo
# 10 (2 cos ^ 2 (x / 2) -1) +13 cos (x / 2) -5 = 0 #
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +13 cos (x / 2) -15 = 0 # alebo
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +25 cos (x / 2) - 12 cos (x / 2) -15 = 0 # alebo
# 5 cos (x / 2) (4 cos (x / 2) +5) -3 (4 cos (x / 2) +5) = 0 # alebo
# (4 cos (x / 2) +5) (5 cos (x / 2) -3) = 0:. buď
# (4 cos (x / 2) +5) = 0 alebo (5 cos (x / 2) -3) = 0 #
# (4 cos (x / 2) +5) = 0:. 4 cos (x / 2) = - 5 # alebo
# cos (x / 2)! = 5/4 # od rozsahu #cos x # je #-1,1#
# (5 cos (x / 2) -3) = 0:. 5 cos (x / 2) = 3 # alebo
#cos (x / 2) = 3/5:. x / 2 = cos ^ -1 (3/5) ~~ 53.13 ^ 0 #
tiež #cos (-53,13) ~ 3/5:. x = 53,13 * 2 ~ ~ 106,26 ^ 0 #
a # x = (-53,13) * 2 ~ ~ -106,26 ^ 0 #
Riešenie: # (x ~ ~ 106,26 ^ 0, x ~ ~ -106,26 ^ 0) # Ans
odpoveď:
# x = arccos (-7/25) + 4 pi k quad # celé číslo # K #
vysvetlenie:
Začnime náhradou # y = x / 2 # zbaviť sa zlomkových uhlov.
# 10 cos (2y) + 13 cos y = 5 #
Uprednostňovaná forma kosínusového dvojitého uhla je
#cos (2y) = 2 cos ^ 2 y -1 #
dosadením, # 10 (2 cos ^ 2 y - 1) + 13 cos y - 5 = 0 #
# 20 cos ^ 2y + 13 cos y - 15 = 0 #
To je bolesť k faktoru, ale trochu hľadanie prichádza s
# (5 cos y - 3) (4 cos y + 5) = 0 #
#cos y = 3/5 alebo cos y = -5 / 4 #
Môžeme ignorovať kosínus mimo rozsah.
#cos y = 3/5 #
Môžeme použiť vzorec dvojitého uhla:
#cos x = cos (2y) = 2 cos ^ 2 y - 1 = 2 (3/5) ^ 2-1 = -7 / 25 #
# x = arccos (-7/25) #
To je Pythagorean Triple #7^2+24^2=25^2# tak sa môžeme pokúsiť napísať to ako # arctan (pm 24/7) # ale to je viac cudzích koreňov.
# x = arccos (-7/25) + 2 pi k quad # celé číslo # K #
kontrola:
Skontrolujeme pár s kalkulačkou.
# x = text {Arc} text {cos} (- 7/25) cca 106,260205 ^ circ #
# 10 cos (106.260205) + 13 cos (106.260205 / 2) -5 = -7 krát 10 ^ {- 8} quad sqrt #
Pridajte 360 a znova skontrolujte:
# 10 cos (360 + 106.260205) + 13 cos ((360 + 106.260205 / 2)) -5 = -15.6 quad # NEPRACUJE.
Zdá sa, že vzhľadom na polovičný uhol je správna odpoveď
# x = arccos (-7/25) + 4 pi k quad # celé číslo # K #
