Aký je limit ako x sa blíži nekonečnosti (ln (x)) ^ (1 / x)?

Je to celkom jednoduché. Musíte použiť skutočnosť, že

#ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

Potom to viete

#ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) #

A potom sa stane zaujímavá časť, ktorá by sa dala riešiť dvoma spôsobmi - pomocou intuície a matematiky.

Začnime s časťou intuície.

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ (("niečo menšie ako x") / x) = e ^ 0 = 1 #

Uvažujme, prečo je to tak?

Vďaka kontinuite # E ^ x # funkcia môžeme presunúť limit:

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) #

Vyhodnotenie tohto limitu #lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) #, môžeme použiť de l'Hospital pravidlo, ktoré uvádza:

#lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Keď teda budeme počítať deriváty, dostaneme:

#lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) = lim_ (n-> infty) (1 / (xln (x))) #

Ako deriváty sú # 1 / (XLN (x)) # pre navrhovateľa a. t #1# pre menovateľa.

Tento limit sa dá ľahko vypočítať tak, ako je # 1 / # infty limit, ktorý je nula.

Preto to vidíte

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1 #

A to znamená #lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 # tiež.