Kedy použijete Heronov vzorec na nájdenie priestoru?

Môžete ho použiť vždy, keď poznáte dĺžku všetkých troch strán trojuholníka.

Dúfam, že to bolo užitočné.

odpoveď:

Heronov vzorec je takmer vždy nesprávny vzorec na použitie; skúste Archimédova veta pre trojuholník s plochou # A # a stranách # A, b, c #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # kde # S = 1/2 (a + b + c) #

Tento posledný je tenko zahalený Heron.

vysvetlenie:

Hrdina Alexandrie napísal v prvom storočí nášho letopočtu. Prečo sme naďalej mučiť študentov s jeho výsledkom, keď sú oveľa krajšie moderné ekvivalenty nemám potuchy.

Heronov vzorec pre oblasť # A # trojuholníka so stranami # A, b, c # je

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # kde # S = 1/2 (a + b + c) # je semiperimeter.

Niet pochýb o tom, že tento vzorec je úžasný. Ale je to nepríjemné používať kvôli zlomku a ak začneme zo súradníc, štyri štvorcové korene.

Urobme len matematiku. Námestie a odstránenie # S # ktorý väčšinou slúži na skrytie #16# a dôležitú faktorizáciu. Možno to budete chcieť najprv vyskúšať.

# A2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (+ + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

To je už oveľa lepšie ako Heronova forma. Frakciu zachránime až do konca a o význame semiperimetra už viac nevieme.

Degenerovaný prípad hovorí. Keď je jeden z týchto faktorov s mínusovým znamienkom nula, potom keď dve strany sčítajú presne na druhú stranu. To sú vzdialenosti medzi tromi kolineárnymi bodmi, degenerovaným trojuholníkom a dostaneme nulovú plochu. Dáva zmysel.

# A + b + c # faktor je zaujímavý. To, čo nám hovorí, že tento vzorec stále funguje, ak použijeme posuny, podpísané dĺžky, namiesto všetkých pozitívnych.

Vzorec je stále nešikovný použiť dané súradnice. Vynásobme to; možno to budete chcieť vyskúšať sami;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc-ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Táto forma závisí len od štvorcov dĺžok. Je to jasne úplne symetrické. Teraz môžeme ísť za Heron a povedať, či štvorcových dĺžok sú racionálne, tak aj štvorcová plocha.

Ale môžeme robiť lepšie, ak si všimneme

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

odčítanie,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

To je tá najkrajšia forma.

Existuje asymetricky vyzerajúca forma, ktorá je zvyčajne najužitočnejšia. Všimli sme si

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Pridanie do

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

To je najužitočnejšia forma. Existujú tri spôsoby, ako to napísať, vymeniť strany.

Súhrnne sa to nazýva Archimedova veta, z racionálnej trigonometrie NJ Wildbergera.

Keď zadáte 2D súradnice, často je šnúrkový vzorec najrýchlejšou cestou k tejto oblasti, ale uložím to pre iné príspevky.