odpoveď:
# "Neexistuje jednoduchá faktorizácia tu. Len všeobecná metóda" #
# "pre riešenie kubickej rovnice nám môže pomôcť."
vysvetlenie:
# "Mohli by sme použiť metódu založenú na nahradení Vieta." #
# "Rozdelenie prvým výnosom koeficientu:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "Nahradenie" x = y + p "v" x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c "výnosy:" #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #
# "ak vezmeme" 3p + a = 0 "alebo" p = -a / 3 ", prvý koeficient" # # "sa stane nulou a dostaneme:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(s" p = -2/3 ")" #
# "Nahradenie" y = qz "v" y ^ 3 + b y + c = 0 ", výnosy:" #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "ak vezmeme" q = sqrt (| b | / 3) ", koeficient z sa stane" #
# "3 alebo -3 a dostaneme:" #
# "(tu" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "Nahradenie" z = t + 1 / t ", výnosy:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1,87850338 = 0 #
# "Nahradenie" u = t ^ 3 ", prináša kvadratickú rovnicu:" #
# => u ^ 2 + 1,87850338 u + 1 = 0 #
# "Korene kvadratickej rovnice sú zložité." #
# "To znamená, že v našej kubickej rovnici máme 3 skutočné korene."
# "Koreň tejto kvadratickej rovnice je" #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 i #
# "Nahradenie premenných, výnosy:" #
#t = root3 (u) = 1,0 * (cos (-0,93041329) + i sin (-0,93041329)) #
# = 0.59750263 - 0.80186695 i.
# => z = 1.19500526 + i 0.0.
# => y = 1.93100097 + i 0.0.
# => x = 1.26433430 #
# "Ostatné korene možno nájsť delením a riešením" # # "zostávajúca kvadratická rovnica." #
# "Ostatné korene sú skutočné: -3,87643981 a 0,61210551." # #
odpoveď:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
kde:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
vysvetlenie:
Vzhľadom na to:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Všimnite si, že to robí faktorise oveľa ľahšie, ak existuje preklep v otázke.
Napríklad:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-farba (červená) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + farba (červená) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
Ak je kocka v danej forme správna, môžeme nájsť jej nuly a faktory takto:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Transformácia Tschirnhaus
Aby bola úloha riešenia kubickej jednoduchšia, urobíme kubický jednoduchší pomocou lineárnej substitúcie známej ako Tschirnhausova transformácia.
# 0 = 108F (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = T ^ 3-282 t + 1712 #
kde # T = (6x + 4) #
Trigonometrická substitúcia
od tej doby # F (x) # má #3# Skutočné nuly, Cardanova metóda a podobné výsledky budú mať za následok výrazy, ktoré zahŕňajú neredukovateľné korene kocky zložitých čísel. Moja preferencia za takýchto okolností je namiesto toho použiť goniometrickú substitúciu.
povedané:
#t = k cos theta #
kde #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
potom:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (biela) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282k cos theta + 1712 #
#color (biela) (0) = 94k (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (biela) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
takže:
#cos3teta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
takže:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
takže:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
takže:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Ktoré darčeky #3# zreteľné nuly kubických v # T #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # pre #n = 0, 1, 2 #
potom:
#x = 1/6 (t-4) #
Takže tri nuly danej kubickej sú:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
s približnými hodnotami:
# x_0 ~ ~ 1.2643 #
# x_1 ~ ~ -3,8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
