Aké sú bežné chyby, ktoré študenti robia s elipsy v štandardnej forme?

Štandardný formulár pre elipsu (ako to učím) vyzerá takto: # (X-H) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) je stred.

vzdialenosť "a" = ako ďaleko doprava / doľava sa presunie z centra na nájdenie horizontálnych koncových bodov.

vzdialenosť "b" = ako ďaleko hore / dole sa pohybujete od stredu k nájdeniu vertikálnych koncových bodov.

Myslím si, že si to študenti často mylne myslia # A ^ 2 # je to, ako ďaleko sa pohybovať od centra, aby sa našli koncové body. Niekedy by to bola veľmi veľká vzdialenosť na cestu!

Tiež si myslím, že niekedy sa študenti mylne pohybujú smerom nahor / nadol namiesto pravého / ľavého pri použití týchto vzorcov na ich problémy.

Tu je príklad na diskusiu o:

# (X-1), ^ 2/4 + (y + 4), ^ 2/9 = 1 #

Centrum je (1, -4). Mali by ste sa pohybovať doprava a doľava "a" = 2 jednotky, aby ste dosiahli horizontálne koncové body na (3, -4) a (-1, -4). (pozrite si obrázok)

Mali by ste sa pohybovať nahor a nadol "b" = 3 jednotky, aby ste dostali vertikálne koncové body na (1, -1) a (1, -7). (pozrite si obrázok)

Pretože a <b, hlavná os bude vo vertikálnom smere.

Ak a> b, hlavná os bude prebiehať v horizontálnom smere!

Ak potrebujete zistiť ďalšie informácie o elipsách, opýtajte sa na ďalšiu otázku!

(Zmätok, či # A # a # B # predstavujú hlavné / vedľajšie polomery, alebo #X#- & # Y #-radii)

Pripomeňme, že štandardný formulár pre elipsu stred je

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Niektorí však už majú problém s vyššie uvedeným vzorcom. Niektorí si to myslia # A # by mal byť vždy väčší ako # B # a teda predstavujú dĺžku hlavného polomeru (aj keď hlavný polomer leží vo vertikálnom smere, čo umožňuje # Y ^ 2 / ^ 2 # v takomto prípade), zatiaľ čo iní sa domnievajú, že by mal vždy reprezentovať #X#-radius (aj keď #X#-radius je menší polomer).

To isté platí aj pre # B #, hoci v opačnom poradí. niektorí veria tomu # B # by mal byť vždy menší polomer, a iní veria, že by to malo byť vždy # Y #-polomer).

Uistite sa, že viete, akú metódu preferuje váš inštruktor (alebo program, ktorý používate). Ak neexistuje silná preferencia, potom sa jednoducho rozhodnite sami, ale byť v súlade s vaším rozhodnutím, Zmenou vašej mysle v polovici úlohy sa veci stanú nejasnými a zmena vašej mysle v polovici jediného problém povedie len k chybám.

(Zmeny polomeru / osi)

Zdá sa, že väčšina chýb v elipsoch vyplýva z tohto zmätku, ktorý okruh je veľký a ktorý je menší. Ďalšie možné chyby môžu vzniknúť, ak sa zameníte hlavný polomer s hlavnou osou (alebo s menším polomerom s vedľajšou osou). Hlavná (alebo vedľajšia) os sa rovná dvojnásobku hlavného (alebo menšieho) polomeru, pretože je to v podstate hlavný (alebo menší) priemer. V závislosti od kroku, v ktorom sa tento zmätok vyskytne, to môže viesť k vážnym chybám v rozsahu pre elipsu.

(Radius / rádius štvorcový zmätok)

Podobná chyba nastane, keď študenti zabudnú, že menovatelia (# a ^ 2, b ^ 2 #) sú štvorce polomerov a nie samotné polomery. Nie je nezvyčajné vidieť študenta s takým problémom, ako je napr # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # nakresliť elipsu #X#-radius 9 a # Y #-radius 4. Ďalej sa to môže vyskytnúť v spojení s vyššie uvedenou chybou (mätenie polomeru priemeru), čo vedie k výsledkom, ako je študent s vyššie uvedenou rovnicou, ktorá kreslí elipsu s hlavným priemerom 9 (a teda hlavný polomer 4,5), namiesto správneho hlavného priemeru 6 (a hlavného polomeru 3).

(Zmeny hyperboly a elipsy) VAROVANIE: Odpoveď je dosť dlhá

Ďalšia relatívne častá chyba nastáva, ak si jeden človek pamätá vzorec elipsy. Zdá sa, že najbežnejšie z týchto chýb sa vyskytujú vtedy, keď si zamieňate vzorec pre elipsy s hyperbolasmi (čo je, ak si spomíname, # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # alebo # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # pre tie, ktoré sa sústreďujú na pôvod, opäť podliehajúce vyššie uvedeným dohovorom o označovaní osí). Na to pomáha zapamätať si definíciu elipsy a hyperbolasov ako kužeľovitých úsekov.

Konkrétne, pripomeňme, že elipsa je lokusom bodov týkajúcich sa dvoch ohnísk # f_1 & f_2 # umiestnené pozdĺž hlavnej osi tak, že pre ľubovoľný bod # P # na mieste, vzdialenosť od # P # na # # F_1 (označené # # D_1) plus vzdialenosť od # P # na # # F_2 (označené # # D_2) sa rovná dvojnásobku hlavného polomeru (t.j. # A # je hlavný polomer, # d_1 + d_2 = 2a #). Ďalej, vzdialenosť od stredu k niektorej z týchto ohnísk (niekedy nazývaná polovičné ohnisko alebo lineárna excentricita) za predpokladu # A # je hlavný polomer, sa rovná #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

Naproti tomu hyperbola je miesto bodov, ktoré sa týkajú dvoch ohnísk takým spôsobom, že pre bod # P # na locus, absolútna hodnota. t rozdiel medzi vzdialenosťou bodu od prvého zaostrenia a vzdialenosť bodu od druhého zaostrenia sa rovná dvojnásobku hlavného polomeru (tzn # A # veľký polomer, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Ďalej, vzdialenosť od stredu hyperboly k niektorému z týchto ohnísk (opäť, niekedy nazývaná lineárna excentricita, a stále predpokladajúca # A # hlavný polomer) sa rovná #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Pokiaľ ide o definíciu kužeľových úsekov, celkový výstrednosť # E # sekcie určuje, či ide o kruh (# E = 0 #), elipsy (# 0 <e <1 #), parabola (# E = 1 #) alebo hyperbola (#E> 1 #). Pre elipsy a hyperboly môže byť excentricita vypočítaná ako pomer lineárnej excentricity k dĺžke hlavného polomeru; tak pre elipsu to bude #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (a teda nevyhnutne menej ako 1) a pre hyperbolu to bude #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (a teda nevyhnutne väčšie ako 1).