odpoveď:
# x = arctan (-3) + 180 ^ circ k alebo x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # pre celé číslo # K. #
vysvetlenie:
Pracoval som to na dvoch rôznych spôsoboch, ale myslím si, že tento tretí spôsob je najlepší. Existuje niekoľko vzorov dvojitého uhla pre kosínus. Nenechajme sa pokúšať žiadnym z nich. Vyvarujme sa tiež rovníc.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
Lineárna kombinácia kosínu a sínu je kosínus posunutý o fázu.
nechať # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # a
# theta = text {Arc} text {tan} (2/1) #
Ukázal som hlavnú inverznú dotyčnicu, tu v prvom kvadrante, okolo # Theta = 63,4 ^ okruh #, Sme si istí
#r cos theta = sq {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r sin theta = sq {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
Môžeme teda prepísať našu rovnicu
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sin 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = sin (-theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta) #
Vždy pamätajte na všeobecné riešenie #cos x = cos a # je # x = + 360 ^ circ k quad # pre celé číslo # K #.
# 2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# x = theta / 2 pm (45 ^ circ + theta / 2) + 180 ^ circ k #
Postupné užívanie značiek, # x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k alebo x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # je konštanta, ktorú sa môžeme pokúsiť získať lepší výraz pre:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ circ) #
# = {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {1- tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3 #
Vieme # Cp # je v druhom kvadrante, nie v obvyklom rozsahu hlavnej hodnoty.
#phi = text {Arc} text {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
Nie je to dôležité, pretože pridávame # 180 ^ circ k # na # Cp # vo všeobecnom riešení. Dávať to všetko dokopy, # x = arctan (-3) + 180 ^ circ k alebo x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
Nemusíme byť starostliví o hlavnej hodnote arctanu; pretože pridávame # 180 ^ circ k # akákoľvek hodnota. Mohli by sme napísať prvý # X = arctan (-3) # s # 180 ^ circ k # implikované, ale nechajme to tu.
