Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) nová otázka ?

#A) #

Musíš to vziať #Psi ^ "*" Psy #.

#color (modrá) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L hriech ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2pixelov) / L) #

# = farba (modrá) (1 / L sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix)) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

#b) #

Obdobie sa dá nájsť s minimálnym úsilím, jednoducho tým, že najprv poznáme energie, ktoré sú konštantami pohybu.

Energia # phi_1 = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) # je # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #a energia # # Phi_2 je # # 4E_1, Preto frekvencia # # Omega_2 z # # Phi_2 je štvornásobok # # Phi_1 (# # Omega_1).

Výsledkom je obdobie # T_1 = (2pi) / (omega_1) # z # # Phi_1 je štvornásobok # # Phi_2 (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #a je tiež obdobím # # Phi_2.

Obdobie je teda #color (modrá) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#C) #

Nechám ťa zapojiť do seba ako #t _ "*" = pi / 2 (E_2 E_1) #, Nemusíte s tým nič robiť …

My to vieme #T = (2pi) / (omega_1) #a to # (iEt) / ℏ = iomegat #, takže

#E_n = omega_nℏ #.

Ako výsledok, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) #

a

#color (modrá) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = farba (modrá) (1 / (12ℏ)) #

#d) #

Pravdepodobnosť nájdenia častíc v # 0, L / 2 # je uvedené ako

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Prvé dva termíny sú symetrické s polovičnou amplitúdou a výťažkom #50%# celkovo.

Tretí termín by mal pravdepodobnosť stacionárneho stavu # 4 / (3pi) #a # # Cos je ľubovoľný fázový faktor. Celková pravdepodobnosť je teda

# = farba (modrá) (0,50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#E) #

#color (modrá) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Neexistuje žiadne triviálne riešenie tohto … To sa ukáže byť:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = farba (modrá) (((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi - 8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)) #

# F) #

na #x = L / 2 #, # # Sin podmienok #sin (pi / 2) = 1 # a #sin (pi) = 0 #, resp.

od tej doby #sin (pi) = 0 #časovo závislá časť #Psi ^ "*" Psy # zmizne a časovo nezávislá časť zostane zachovaná # 1 / L # ako hustota pravdepodobnosti.