Aké sú príklady funkcií, ktoré nie je možné integrovať?

Záleží na tom, čo myslíte. Myslíte, že nemôžete nájsť vzorec pre antiderivatív? Alebo máte na mysli, že určitý integrál neexistuje?

Niektoré funkcie, ako napr #sin (x ^ 2) #, majú antideriváty, ktoré nemajú jednoduché vzorce zahŕňajúce konečný počet funkcií, na ktoré ste zvyknutí z precalculus (majú antideriváty, len jednoduché vzorce pre nich). Ich antideriváty nie sú "elementárne".

Iné funkcie, napríklad funkcia # F (x) # ktorý sa rovná 1, keď #X# je racionálne a 0, keď #X# je iracionálne nie sú "Riemann integrovateľné" v akomkoľvek uzavretom intervale # A, b #, Problém spočíva v tom, že pre danú časť intervalu môžete vždy vybrať vzorové body, ktoré sú buď všetky iracionálne alebo všetky racionálne, čo povedie k sumám, ktoré nie sú konvergované k tej istej odpovedi ako všetky subintervaly. menšie.

Táto posledná funkcia je však "Lebesgue integrable" (vyslovuje sa "Lah-bagh" s dlhým "a" zvukom v druhej slabike). Nebudem sa dostávať do detailov, ale v skratke je veľa "teórií integrácie", v súvislosti s ktorými môže byť daná funkcia integrovateľná alebo nie.